Решение задачи по геометрии: подобие треугольников КМО и NCO, вычисление КМ

Хорошо, давайте решим эти задачи. 2 ВАРИАНТ 1. Отрезки КС и MN пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку NC. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=16см, МО=32см, NC=17см. Решение: 1. Докажем подобие треугольников КМО и NCO. Так как КМ параллелен NC, то: Угол КМО = Угол NCO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и NC и секущей КС). Угол МКО = Угол CNO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и NC и секущей MN). Угол КОМ = Угол NOC (как вертикальные углы). Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то треугольники КМО и NCO подобны по трем углам. 2. Найдем КМ. Из подобия треугольников следует отношение сторон: \[ \frac{KM}{NC} = \frac{MO}{NO} = \frac{KO}{CO} \] Нам известны: ON=16см, МО=32см, NC=17см. Подставим известные значения в отношение: \[ \frac{KM}{17} = \frac{32}{16} \] \[ \frac{KM}{17} = 2 \] \[ KM = 2 \cdot 17 \] \[ KM = 34 \text{ см} \] Ответ: КМ = 34 см. Рисунок: (Представьте себе два треугольника, вершина О общая, КМ сверху, NC снизу, КМ параллельна NC. Линии КС и MN пересекаются в О.) ``` K-------M / \ / \ / \ / \ / O / \ / / \ N-------C ``` 2. В подобных треугольниках MNO и РКТ стороны MN и РК являются сходственными. Найдите стороны треугольника РКТ, если MN=3см, NO=4см, ОМ=5см, РК:MN=1,8. Найдите отношение площадей треугольников. Решение: 1. Найдем коэффициент подобия. Дано, что РК:MN = 1,8. Это и есть коэффициент подобия \(k\). \[ k = \frac{PK}{MN} = 1,8 \] 2. Найдем стороны треугольника РКТ. Так как треугольники MNO и РКТ подобны, и MN и РК сходственные стороны, то: \[ \frac{PK}{MN} = \frac{KT}{NO} = \frac{PT}{OM} = k \] Мы знаем MN=3см, NO=4см, ОМ=5см. Найдем РК: \[ PK = k \cdot MN = 1,8 \cdot 3 = 5,4 \text{ см} \] Найдем КТ: \[ KT = k \cdot NO = 1,8 \cdot 4 = 7,2 \text{ см} \] Найдем РТ: \[ PT = k \cdot OM = 1,8 \cdot 5 = 9 \text{ см} \] Стороны треугольника РКТ: РК=5,4см, КТ=7,2см, РТ=9см. 3. Найдем отношение площадей треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \[ \frac{S_{РКТ}}{S_{MNO}} = k^2 \] \[ \frac{S_{РКТ}}{S_{MNO}} = (1,8)^2 \] \[ \frac{S_{РКТ}}{S_{MNO}} = 3,24 \] Ответ: Стороны треугольника РКТ: РК=5,4см, КТ=7,2см, РТ=9см. Отношение площадей \( \frac{S_{РКТ}}{S_{MNO}} = 3,24 \). Рисунок: (Представьте два треугольника, один поменьше (MNO), другой побольше (РКТ), но одинаковой формы.) ``` M / \ / \ O-----N P / \ / \ T-----K ``` 3. На сторонах КМ и МО треугольника КМО отмечены точки С и В так, что КС=СМ, МВ=ВО, СВ=5см. Найдите сторону КО. Решение: 1. Рассмотрим треугольник КМО. Точка С является серединой стороны КМ, так как КС=СМ. Точка В является серединой стороны МО, так как МВ=ВО. 2. Отрезок СВ соединяет середины двух сторон треугольника КМО (КМ и МО). По определению, такой отрезок является средней линией треугольника. 3. Свойство средней линии треугольника гласит, что она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, СВ является средней линией, параллельной КО, и СВ = \( \frac{1}{2} \) КО. 4. Нам дано, что СВ=5см. Подставим это значение в формулу: \[ 5 = \frac{1}{2} КО \] \[ КО = 5 \cdot 2 \] \[ КО = 10 \text{ см} \] Ответ: КО = 10 см. Рисунок: (Треугольник КМО, точки С и В на сторонах КМ и МО соответственно, отрезок СВ внутри треугольника.) ``` K / \ C---B / \ M-------O ``` 4. Человек ростом 1,5м стоит на расстоянии 16 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь? Решение: 1. Представим ситуацию как два подобных прямоугольных треугольника. Первый треугольник образован фонарем, столбом и концом тени человека. Второй треугольник образован человеком, его тенью и точкой на земле под фонарем. Высота фонаря (Н) - это один катет большого треугольника. Высота человека (h) - это один катет маленького треугольника. Расстояние от столба до человека (D) = 16 шагов. Длина тени человека (L) = 4 шага. Общая длина основания большого треугольника = D + L = 16 + 4 = 20 шагов. 2. Из подобия треугольников следует отношение: \[ \frac{H}{h} = \frac{D+L}{L} \] Подставим известные значения: h = 1,5 м D+L = 20 шагов L = 4 шага \[ \frac{H}{1,5} = \frac{20}{4} \] \[ \frac{H}{1,5} = 5 \] \[ H = 5 \cdot 1,5 \] \[ H = 7,5 \text{ м} \] Ответ: Фонарь расположен на высоте 7,5 метров. Рисунок: (Представьте столб с фонарем, человека рядом, и его тень. Все это образует два подобных прямоугольных треугольника.) ``` Фонарь (H) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |