Решение: Векторы, Геометрия 9 класс, 1 вариант

Геометрия 9 класс. Домашняя работа по теме «Векторы». 1 вариант. Задача 1. Для выполнения этого задания в тетради: 1. Начертите вектор \(\vec{a}\) длиной 3 см (например, горизонтально вправо). 2. Начертите вектор \(\vec{b}\) длиной 2 см под углом к вектору \(\vec{a}\) (например, вверх и вправо). 3. Чтобы построить вектор \(\vec{p} = 3\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\), выполните следующие шаги: - Отложите от произвольной точки вектор \(3\vec{a}\). Его длина будет \(3 \cdot 3 = 9\) см, направление совпадает с \(\vec{a}\). - От конца век \(3\vec{a}\) отложите вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\). Его длина будет \(2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) см, а направление будет противоположным вектору \(\vec{b}\). - Искомый вектор \(\vec{p}\) соединит начало первого вектора с концом второго (по правилу треугольника). Итоговые длины для построения: - Вектор \(3\vec{a}\) — 9 см. - Вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\) — 1 см (в обратную сторону от \(\vec{b}\)). Задача 2. Дано: \(KMNP\) — параллелограмм. \(\vec{KM} = \vec{m}\), \(\vec{KP} = \vec{n}\). Точка \(A\) на \(PN\), \(PA : AN = 2 : 1\). Точка \(B\) — середина \(MN\). Выразить: \(\vec{MA}\) и \(\vec{AB}\). Решение: 1) Выразим вектор \(\vec{MA}\). По правилу сложения векторов: \[ \vec{MA} = \vec{MK} + \vec{KP} + \vec{PA} \] Так как \(\vec{MK} = -\vec{m}\) и \(\vec{KP} = \vec{n}\). По условию \(PA : AN = 2 : 1\), значит отрезок \(PN\) делится на 3 части, и \(PA\) составляет \(\frac{2}{3}\) от \(PN\). Так как \(KMNP\) — параллелограмм, то \(\vec{PN} = \vec{KM} = \vec{m}\). Следовательно, \(\vec{PA} = \frac{2}{3}\vec{PN} = \frac{2}{3}\vec{m}\). Подставляем в формулу: \[ \vec{MA} = -\vec{m} + \vec{n} + \frac{2}{3}\vec{m} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} \] 2) Выразим вектор \(\vec{AB}\). По правилу сложения векторов: \[ \vec{AB} = \vec{AN} + \vec{NB} \] Так как \(PA : AN = 2 : 1\), то \(\vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{PN} = \frac{1}{3}\vec{m}\). Так как \(B\) — середина \(MN\), а \(\vec{NM} = \vec{PK} = -\vec{n}\), то: \[ \vec{NB} = \frac{1}{2}\vec{NM} = -\frac{1}{2}\vec{n} \] Подставляем в формулу: \[ \vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n} \] Ответ: \[ \vec{MA} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} \] \[ \vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n} \]