Решение задачи: Прямоугольный параллелепипед

Вот решения задач из самостоятельной работы по теме "Прямоугольный параллелепипед". Самостоятельная работа по теме "Прямоугольный параллелепипед". В-1 1. Напишите: 1) Грани, которым принадлежит вершина K: Ответ: KBCM, KFEA, KCDA 2) Рёбра, равные ребру FM: Ответ: BC, AD, KE 3) Верхнюю грань: Ответ: KFEA 4) Вершины, принадлежащие нижней грани: Ответ: B, C, D, A 5) Грани, имеющие общее ребро AB: Ответ: ABCD, ABFE 6) Грань, равную грани DCKF: Ответ: ABME 2. Дан прямоугольный параллелепипед. Его длина - 8 см, ширина - 5 см, высота - 10 см. Найдите: А) длину всех рёбер; Б) площадь полной поверхности параллелепипеда; В) объём параллелепипеда. Решение: Пусть \(a = 8\) см, \(b = 5\) см, \(c = 10\) см. А) Длина всех рёбер: У прямоугольного параллелепипеда 4 ребра длины \(a\), 4 ребра длины \(b\) и 4 ребра длины \(c\). Формула для суммы длин всех рёбер: \(L = 4(a + b + c)\) \(L = 4(8 + 5 + 10) = 4(23) = 92\) см. Ответ: 92 см. Б) Площадь полной поверхности параллелепипеда: Формула для площади полной поверхности: \(S = 2(ab + bc + ac)\) \(S = 2(8 \cdot 5 + 5 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2(40 + 50 + 80) = 2(170) = 340\) см\(^2\). Ответ: 340 см\(^2\). В) Объём параллелепипеда: Формула для объёма: \(V = abc\) \(V = 8 \cdot 5 \cdot 10 = 40 \cdot 10 = 400\) см\(^3\). Ответ: 400 см\(^3\). 3. Найдите объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Ответ дайте в см\(^3\). На рисунке: длина = 15 см, ширина = 9 см, высота = 12 см. Решение: Длина \(a = 15\) см, ширина \(b = 9\) см, высота \(c = 12\) см. Объём \(V = abc\) \(V = 15 \cdot 9 \cdot 12 = 135 \cdot 12 = 1620\) см\(^3\). Ответ: 1620 см\(^3\). 4. Сколько шпагата потребуется, чтобы перевязать коробку так, как это изображено на рисунке? На бантик необходимо оставить 2 дм. Ответ дайте в дм. На рисунке: длина = 700 мм, ширина = 350 мм, высота = 200 мм. Решение: Переведём все размеры в дециметры (1 дм = 10 см = 100 мм): Длина \(a = 700\) мм = 7 дм Ширина \(b = 350\) мм = 3.5 дм Высота \(c = 200\) мм = 2 дм По рисунку видно, что шпагат проходит по двум длинам, двум ширинам и четырём высотам коробки. Длина шпагата для перевязки: \(L_{перевязки} = 2a + 2b + 4c\) \(L_{перевязки} = 2 \cdot 7 + 2 \cdot 3.5 + 4 \cdot 2 = 14 + 7 + 8 = 29\) дм. На бантик необходимо оставить 2 дм. Общая длина шпагата: \(L_{общий} = L_{перевязки} + L_{бантик}\) \(L_{общий} = 29 + 2 = 31\) дм. Ответ: 31 дм. 5. От куба отрезали часть так, как это показано на рисунке. Сколько у получившегося многогранника граней? Решение: Исходный куб имеет 6 граней. Когда от куба отрезают угол, как показано на рисунке, одна грань (угол) заменяется тремя новыми гранями. Однако, на рисунке показано, что отрезана часть, которая образует новую грань, а две старые грани (которые были частью угла) остаются, но их площадь уменьшается. Если отрезается угол куба плоскостью, проходящей через три вершины, не лежащие на одной грани, то образуется новая грань (треугольник). При этом три грани куба, которые сходились в этом углу, остаются, но их форма меняется (становятся пятиугольниками). Таким образом, к 3 граням, которые не были затронуты, добавляются 3 измененные грани и 1 новая грань. Итого: 3 (незатронутые) + 3 (измененные) + 1 (новая) = 7 граней. Ответ: 7 граней. Самостоятельная работа по теме "Прямоугольный параллелепипед". В-2 1. Напишите: 1) Грани, которым принадлежит вершина D: Ответ: ABCD, ADME, DCKF 2) Рёбра, равные ребру AD: Ответ: BC, MK, FE 3) Нижнюю грань: Ответ: ABCD 4) Вершины, принадлежащие верхней грани: Ответ: M, K, F, E 5) Грани, имеющие общее ребро FK: Ответ: KFEA, DCKF 6) Грань, равную грани AEFD: Ответ: BCMK 2. Дан прямоугольный параллелепипед. Его длина - 9 см, ширина - 3 см, высота - 7 см. Найдите: А) длину всех рёбер; Б) площадь полной поверхности параллелепипеда; В) объём параллелепипеда. Решение: Пусть \(a = 9\) см, \(b = 3\) см, \(c = 7\) см. А) Длина всех рёбер: Формула для суммы длин всех рёбер: \(L = 4(a + b + c)\) \(L = 4(9 + 3 + 7) = 4(19) = 76\) см. Ответ: 76 см. Б) Площадь полной поверхности параллелепипеда: Формула для площади полной поверхности: \(S = 2(ab + bc + ac)\) \(S = 2(9 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 9 \cdot 7) = 2(27 + 21 + 63) = 2(111) = 222\) см\(^2\). Ответ: 222 см\(^2\). В) Объём параллелепипеда: Формула для объёма: \(V = abc\) \(V = 9 \cdot 3 \cdot 7 = 27 \cdot 7 = 189\) см\(^3\). Ответ: 189 см\(^3\). 3. Найдите объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Ответ дайте в см\(^3\). На рисунке: длина = 30 см, ширина = 4 см, высота = 9 см. Решение: Длина \(a = 30\) см, ширина \(b = 4\) см, высота \(c = 9\) см. Объём \(V = abc\) \(V = 30 \cdot 4 \cdot 9 = 120 \cdot 9 = 1080\) см\(^3\). Ответ: 1080 см\(^3\). 4. Сколько шпагата потребуется, чтобы перевязать коробку так, как это изображено на рисунке? На бантик необходимо оставить 20 см. Ответ дайте в см. На рисунке: длина = 700 мм, ширина = 350 мм, высота = 200 мм. Решение: Переведём все размеры в сантиметры (1 см = 10 мм): Длина \(a = 700\) мм = 70 см Ширина \(b = 350\) мм = 35 см Высота \(c = 200\) мм = 20 см По рисунку видно, что шпагат проходит по двум длинам, двум ширинам и четырём высотам коробки. Длина шпагата для перевязки: \(L_{перевязки} = 2a + 2b + 4c\) \(L_{перевязки} = 2 \cdot 70 + 2 \cdot 35 + 4 \cdot 20 = 140 + 70 + 80 = 290\) см. На бантик необходимо оставить 20 см. Общая длина шпагата: \(L_{общий} = L_{перевязки} + L_{бантик}\) \(L_{общий} = 290 + 20 = 310\) см. Ответ: 310 см. 5. От куба отрезали часть так, как это показано на рисунке. Сколько у получившегося многогранника граней? Решение: Исходный куб имеет 6 граней. На рисунке показано, что от куба отрезана "крыша". Это означает, что одна верхняя грань куба заменена двумя новыми гранями (скатами крыши) и одной новой гранью (вершиной крыши, если она есть, или ребром). Если отрезается верхняя часть куба, образуя "крышу" (как на рисунке, где верхняя грань заменена двумя наклонными гранями и одним верхним ребром), то: 4 боковые грани остаются. 1 нижняя грань остается. Верхняя грань заменяется двумя новыми гранями (скатами). Итого: 4 (боковые) + 1 (нижняя) + 2 (скаты) = 7 граней. Ответ: 7 граней.