Решение задачи исполнителя Сигма: программа 12111

Хорошо, давайте решим эти задачи.

ЗАДАНИЕ 1

У исполнителя Сигма две команды:

1. Прибавь 1
2. Раздели на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 12111 переводит число 62 в число 12. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 62 и последовательно применим команды программы 12111:

1. Команда 1: Прибавь 1.
\[62 + 1 = 63\]
2. Команда 2: Раздели на b.
\[63 / b\]
3. Команда 1: Прибавь 1.
\[63 / b + 1\]
4. Команда 1: Прибавь 1.
\[63 / b + 1 + 1 = 63 / b + 2\]
5. Команда 1: Прибавь 1.
\[63 / b + 2 + 1 = 63 / b + 3\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 12.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[63 / b + 3 = 12\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[63 / b = 12 - 3\] \[63 / b = 9\] \[b = 63 / 9\] \[b = 7\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(7 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 7

ЗАДАНИЕ 2

У исполнителя Гамма две команды:

1. Прибавь 3
2. Умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 11211 переводит число 1 в число 55. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 1 и последовательно применим команды программы 11211:

1. Команда 1: Прибавь 3.
\[1 + 3 = 4\]
2. Команда 1: Прибавь 3.
\[4 + 3 = 7\]
3. Команда 2: Умножь на b.
\[7 * b\]
4. Команда 1: Прибавь 3.
\[7 * b + 3\]
5. Команда 1: Прибавь 3.
\[7 * b + 3 + 3 = 7 * b + 6\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 55.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[7 * b + 6 = 55\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[7 * b = 55 - 6\] \[7 * b = 49\] \[b = 49 / 7\] \[b = 7\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(7 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 7

ЗАДАНИЕ 3

У исполнителя Бета две команды:

1. Прибавь 2
2. Умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 12111 переводит число 5 в число 69. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 5 и последовательно применим команды программы 12111:

1. Команда 1: Прибавь 2.
\[5 + 2 = 7\]
2. Команда 2: Умножь на b.
\[7 * b\]
3. Команда 1: Прибавь 2.
\[7 * b + 2\]
4. Команда 1: Прибавь 2.
\[7 * b + 2 + 2 = 7 * b + 4\]
5. Команда 1: Прибавь 2.
\[7 * b + 4 + 2 = 7 * b + 6\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 69.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[7 * b + 6 = 69\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[7 * b = 69 - 6\] \[7 * b = 63\] \[b = 63 / 7\] \[b = 9\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(9 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 9

ЗАДАНИЕ 4

У исполнителя Альфа две команды:

1. Прибавь 1
2. Умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 11211 переводит число 6 в число 66. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 6 и последовательно применим команды программы 11211:

1. Команда 1: Прибавь 1.
\[6 + 1 = 7\]
2. Команда 1: Прибавь 1.
\[7 + 1 = 8\]
3. Команда 2: Умножь на b.
\[8 * b\]
4. Команда 1: Прибавь 1.
\[8 * b + 1\]
5. Команда 1: Прибавь 1.
\[8 * b + 1 + 1 = 8 * b + 2\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 66.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[8 * b + 2 = 66\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[8 * b = 66 - 2\] \[8 * b = 64\] \[b = 64 / 8\] \[b = 8\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(8 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 8

ЗАДАНИЕ 5

У исполнителя Омега две команды:

1. Прибавь 3
2. Раздели на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 11211 переводит число 42 в число 12. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 42 и последовательно применим команды программы 11211:

1. Команда 1: Прибавь 3.
\[42 + 3 = 45\]
2. Команда 1: Прибавь 3.
\[45 + 3 = 48\]
3. Команда 2: Раздели на b.
\[48 / b\]
4. Команда 1: Прибавь 3.
\[48 / b + 3\]
5. Команда 1: Прибавь 3.
\[48 / b + 3 + 3 = 48 / b + 6\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 12.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[48 / b + 6 = 12\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[48 / b = 12 - 6\] \[48 / b = 6\] \[b = 48 / 6\] \[b = 8\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(8 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 8

ЗАДАНИЕ 6

У исполнителя Альфа две команды:

1. Прибавь 4
2. Раздели на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 11121 переводит число 76 в число 26. Определите значение b.

Решение:

Начнем с числа 76 и последовательно применим команды программы 11121:

1. Команда 1: Прибавь 4.
\[76 + 4 = 80\]
2. Команда 1: Прибавь 4.
\[80 + 4 = 84\]
3. Команда 1: Прибавь 4.
\[84 + 4 = 88\]
4. Команда 2: Раздели на b.
\[88 / b\]
5. Команда 1: Прибавь 4.
\[88 / b + 4\]

По условию задачи, в результате выполнения программы мы получаем число 26.

Значит, мы можем составить уравнение:

\[88 / b + 4 = 26\]

Теперь решим это уравнение относительно b:

\[88 / b = 26 - 4\] \[88 / b = 22\] \[b = 88 / 22\] \[b = 4\]

Проверим условие \(b \ge 2\). \(4 \ge 2\), условие выполняется.

Ответ: 4

ЗАДАНИЕ 8

У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:

1. Умножь на 3
2. Вычти 2

Составьте алгоритм получения из числа 3 числа 23, содержащий 4 команды. В ответе запишите только номера команд.

Решение:

Нам нужно получить из числа 3 число 23, используя 4 команды. Попробуем различные комбинации команд 1 (умножить на 3) и 2 (вычесть 2).

Пусть \(x_0 = 3\).

Попробуем перебирать варианты:

Вариант 1: 1111 (умножить на 3, 4 раза)

\[3 \xrightarrow{1} 3 \cdot 3 = 9 \xrightarrow{1} 9 \cdot 3 = 27 \xrightarrow{1} 27 \cdot 3 = 81 \xrightarrow{1} 81 \cdot 3 = 243\]

Не подходит.

Вариант 2: 2222 (вычесть 2, 4 раза)

\[3 \xrightarrow{2} 3 - 2 = 1 \xrightarrow{2} 1 - 2 = -1\]

Не подходит, так как мы уходим в отрицательные числа.

Попробуем комбинировать. Цель 23. Умножение на 3 быстро увеличивает число. Вычитание 2 уменьшает.

Если мы умножим 3 на 3, получим 9. Если еще раз умножим, получим 27. Это близко к 23.

Попробуем начать с умножения:

\[3 \xrightarrow{1} 3 \cdot 3 = 9\]

Осталось 3 команды. Нужно получить 23 из 9.

Если мы еще раз умножим:

\[9 \xrightarrow{1} 9 \cdot 3 = 27\]

Осталось 2 команды. Нужно получить 23 из 27. Для этого нужно вычесть 4. Каждая команда "Вычти 2" уменьшает на 2. Значит, нужно две команды "Вычти 2".

\[27 \xrightarrow{2} 27 - 2 = 25\] \[25 \xrightarrow{2} 25 - 2 = 23\]

Итак, последовательность команд: 1, 1, 2, 2.

Проверим:

\[3 \xrightarrow{1} 3 \cdot 3 = 9\] \[9 \xrightarrow{1} 9 \cdot 3 = 27\] \[27 \xrightarrow{2} 27 - 2 = 25\] \[25 \xrightarrow{2} 25 - 2 = 23\]

Получили 23 за 4 команды. Это и есть искомый алгоритм.

Ответ: 1122

ЗАДАНИЕ 9

У исполнителя Делитель две команды, которым присвоены номера:

1. Раздели на 2
2. Вычти 1

Исполнитель работает только с натуральными числами. Составьте алгоритм получения из числа 33 числа 7, содержащий 4 команды. В ответе запишите только номера команд.

Решение:

Нам нужно получить из числа 33 число 7, используя 4 команды. Исполнитель работает только с натуральными числами.

Пусть \(x_0 = 33\).

Попробуем перебирать варианты, двигаясь от 33 к 7.

Команда 1: Раздели на 2. Команда 2: Вычти 1.

Если мы делим на 2, число уменьшается быстрее. Если вычитаем 1, медленнее.

Попробуем начать с деления, так как 33 достаточно большое число по сравнению с 7.

\[33 \xrightarrow{1} 33 / 2 = 16.5\]

Это не натуральное число, значит, команда 1 не может быть первой, если 33 нечетное.

Значит, первая команда должна быть 2 (Вычти 1), чтобы сделать число четным.

\[33 \xrightarrow{2} 33 - 1 = 32\]

Осталось 3 команды. Нужно получить 7 из 32.

Теперь 32 четное, можно применить команду 1.

\[32 \xrightarrow{1} 32 / 2 = 16\]

Осталось 2 команды. Нужно получить 7 из 16.

16 четное, можно применить команду 1.

\[16 \xrightarrow{1} 16 / 2 = 8\]

Осталась 1 команда. Нужно получить 7 из 8. Для этого нужно вычесть 1.

\[8 \xrightarrow{2} 8 - 1 = 7\]

Итак, последовательность команд: 2, 1, 1, 2.

Проверим:

\[33 \xrightarrow{2} 33 - 1 = 32\] \[32 \xrightarrow{1} 32 / 2 = 16\] \[16 \xrightarrow{1} 16 / 2 = 8\] \[8 \xrightarrow{2} 8 - 1 = 7\]

Получили 7 за 4 команды, все промежуточные числа натуральные. Это и есть искомый алгоритм.

Ответ: 2112

ЗАДАНИЕ 10

У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавь 1
2. Возве