Решение дифференциального уравнения x√(5+y²)dx + y√(4+x²)dy = 0

Решим дифференциальное уравнение: \[x\sqrt{5+y^2}dx + y\sqrt{4+x^2}dy = 0\] Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем один из членов в правую часть: \[x\sqrt{5+y^2}dx = -y\sqrt{4+x^2}dy\] Разделим переменные, чтобы все члены с \(x\) были с \(dx\), а все члены с \(y\) с \(dy\): \[\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{5+y^2}}dy\] Теперь проинтегрируем обе части уравнения: \[\int \frac{x}{\sqrt{4+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{5+y^2}}dy\] Для левой части сделаем замену: Пусть \(u = 4+x^2\). Тогда \(du = 2xdx\), или \(xdx = \frac{1}{2}du\). Интеграл примет вид: \[\int \frac{1}{2\sqrt{u}}du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = u^{1/2} = \sqrt{u} = \sqrt{4+x^2}\] Для правой части сделаем замену: Пусть \(v = 5+y^2\). Тогда \(dv = 2ydy\), или \(ydy = \frac{1}{2}dv\). Интеграл примет вид: \[-\int \frac{1}{2\sqrt{v}}dv = -\frac{1}{2} \int v^{-1/2}dv = -\frac{1}{2} \cdot \frac{v^{1/2}}{1/2} = -v^{1/2} = -\sqrt{v} = -\sqrt{5+y^2}\] Приравниваем результаты интегрирования и добавляем константу интегрирования \(C\): \[\sqrt{4+x^2} = -\sqrt{5+y^2} + C\] Можно перенести член с \(y\) в левую часть для более удобного вида: \[\sqrt{4+x^2} + \sqrt{5+y^2} = C\] Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.