Решение дифференциального уравнения y' = (x - 3y + 1) / (x - 1)

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение. У нас дано уравнение: \[y' = \frac{x - 3y + 1}{x - 1}\] Это дифференциальное уравнение первого порядка. Оно относится к типу уравнений, которые можно привести к однородным или к уравнениям в полных дифференциалах, или решить с помощью замены переменных. Давайте попробуем сделать замену переменных. Заметим, что в числителе и знаменателе есть линейные выражения. Рассмотрим систему уравнений, приравнивая числитель и знаменатель к нулю: \[\begin{cases} x - 3y + 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases}\] Из второго уравнения получаем: \[x = 1\] Подставим \(x = 1\) в первое уравнение: \[1 - 3y + 1 = 0\] \[2 - 3y = 0\] \[3y = 2\] \[y = \frac{2}{3}\] Точка пересечения прямых: \(x_0 = 1\), \(y_0 = \frac{2}{3}\). Теперь сделаем замену переменных: Пусть \(x = u + x_0 = u + 1\) Пусть \(y = v + y_0 = v + \frac{2}{3}\) Тогда \(dx = du\) и \(dy = dv\). Следовательно, \(y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{du} = v'\). Подставим эти замены в исходное уравнение: Числитель: \(x - 3y + 1 = (u + 1) - 3(v + \frac{2}{3}) + 1 = u + 1 - 3v - 2 + 1 = u - 3v\) Знаменатель: \(x - 1 = (u + 1) - 1 = u\) Теперь уравнение принимает вид: \[v' = \frac{u - 3v}{u}\] \[v' = 1 - \frac{3v}{u}\] Это однородное дифференциальное уравнение. Сделаем еще одну замену: Пусть \(z = \frac{v}{u}\), тогда \(v = zu\). Найдем производную \(v'\) по \(u\): \(v' = \frac{dv}{du} = z'u + z\) Подставим это в уравнение: \[z'u + z = 1 - 3z\] \[z'u = 1 - 4z\] Теперь разделим переменные: \[u \frac{dz}{du} = 1 - 4z\] \[\frac{dz}{1 - 4z} = \frac{du}{u}\] Проинтегрируем обе части: \[\int \frac{dz}{1 - 4z} = \int \frac{du}{u}\] Для левой части: Пусть \(t = 1 - 4z\), тогда \(dt = -4dz\), или \(dz = -\frac{1}{4}dt\). \[\int \frac{-\frac{1}{4}dt}{t} = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} = -\frac{1}{4} \ln|t| + C_1 = -\frac{1}{4} \ln|1 - 4z| + C_1\] Для правой части: \[\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_2\] Приравниваем результаты: \[-\frac{1}{4} \ln|1 - 4z| = \ln|u| + C\] (где \(C = C_2 - C_1\)) Умножим обе части на -4: \[\ln|1 - 4z| = -4 \ln|u| - 4C\] \[\ln|1 - 4z| = \ln|u^{-4}| + \ln|C_3|\] (где \(-4C = \ln|C_3|\), \(C_3 > 0\)) \[\ln|1 - 4z| = \ln|C_3 u^{-4}|\] \[1 - 4z = C_3 u^{-4}\] (Здесь \(C_3\) может быть любой ненулевой константой, так как мы убрали модуль) Теперь выполним обратные замены. Сначала \(z = \frac{v}{u}\): \[1 - 4\frac{v}{u} = C_3 u^{-4}\] \[\frac{u - 4v}{u} = C_3 u^{-4}\] \[u - 4v = C_3 u^{-3}\] Теперь вернемся к \(x\) и \(y\): \(u = x - 1\) \(v = y - \frac{2}{3}\) Подставим их: \[(x - 1) - 4(y - \frac{2}{3}) = C_3 (x - 1)^{-3}\] \[x - 1 - 4y + \frac{8}{3} = C_3 (x - 1)^{-3}\] \[x - 4y + \frac{5}{3} = C_3 (x - 1)^{-3}\] Это и есть общее решение дифференциального уравнения. Можно записать его в другом виде, например, умножив на 3: \[3x - 12y + 5 = 3C_3 (x - 1)^{-3}\] Пусть \(K = 3C_3\), тогда: \[3x - 12y + 5 = K (x - 1)^{-3}\] Или, если выразить \(y\): \[12y = 3x + 5 - K (x - 1)^{-3}\] \[y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{12} - \frac{K}{12} (x - 1)^{-3}\] Пусть \(A = -\frac{K}{12}\), тогда: \[y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{12} + A (x - 1)^{-3}\] Окончательный ответ: Общее решение дифференциального уравнения: \[x - 4y + \frac{5}{3} = C (x - 1)^{-3}\] где \(C\) - произвольная постоянная. Или в более явном виде для \(y\): \[y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{12} + C_1 (x - 1)^{-3}\] где \(C_1\) - произвольная постоянная.