Решение дифференциального уравнения y' = (x - 3y + 1)/(x - 1)

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение более кратко. Уравнение: \[y' = \frac{x - 3y + 1}{x - 1}\] Это уравнение вида \(y' = f(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1})\). Найдем точку пересечения прямых \(x - 3y + 1 = 0\) и \(x - 1 = 0\). Из \(x - 1 = 0\) получаем \(x = 1\). Подставляем в первое уравнение: \(1 - 3y + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}\). Точка пересечения: \((1, \frac{2}{3})\). Сделаем замену переменных: Пусть \(x = u + 1\) Пусть \(y = v + \frac{2}{3}\) Тогда \(dx = du\), \(dy = dv\), и \(y' = v'\). Подставляем в уравнение: Числитель: \((u + 1) - 3(v + \frac{2}{3}) + 1 = u + 1 - 3v - 2 + 1 = u - 3v\) Знаменатель: \((u + 1) - 1 = u\) Уравнение становится однородным: \[v' = \frac{u - 3v}{u} = 1 - 3\frac{v}{u}\] Сделаем замену \(z = \frac{v}{u}\), откуда \(v = zu\). Тогда \(v' = z'u + z\). Подставляем: \[z'u + z = 1 - 3z\] \[z'u = 1 - 4z\] Разделяем переменные: \[\frac{dz}{1 - 4z} = \frac{du}{u}\] Интегрируем обе части: \[\int \frac{dz}{1 - 4z} = \int \frac{du}{u}\] \[-\frac{1}{4} \ln|1 - 4z| = \ln|u| + C_0\] Умножаем на -4: \[\ln|1 - 4z| = -4 \ln|u| - 4C_0\] \[\ln|1 - 4z| = \ln|u^{-4}| + \ln|C_1|\] \[\ln|1 - 4z| = \ln|C_1 u^{-4}|\] \[1 - 4z = C_1 u^{-4}\] (где \(C_1\) - произвольная ненулевая константа) Выполняем обратную замену \(z = \frac{v}{u}\): \[1 - 4\frac{v}{u} = C_1 u^{-4}\] \[\frac{u - 4v}{u} = C_1 u^{-4}\] \[u - 4v = C_1 u^{-3}\] Выполняем обратную замену \(u = x - 1\) и \(v = y - \frac{2}{3}\): \[(x - 1) - 4(y - \frac{2}{3}) = C_1 (x - 1)^{-3}\] \[x - 1 - 4y + \frac{8}{3} = C_1 (x - 1)^{-3}\] \[x - 4y + \frac{5}{3} = C_1 (x - 1)^{-3}\] Это общее решение. Можно умножить на 3 для удобства: \[3x - 12y + 5 = 3C_1 (x - 1)^{-3}\] Пусть \(C = 3C_1\). \[3x - 12y + 5 = C (x - 1)^{-3}\] Окончательный ответ: \[3x - 12y + 5 = C (x - 1)^{-3}\] где \(C\) - произвольная постоянная.