Решение уравнения yy'-4x=y²√x

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение. Уравнение: \[yy' - 4x = y^2 \sqrt{x}\] Это уравнение Бернулли. Сначала приведем его к стандартному виду. Разделим все члены на \(y^2\) (предполагаем, что \(y \neq 0\)): \[\frac{y'}{y} - \frac{4x}{y^2} = \sqrt{x}\] Перепишем его так, чтобы оно было похоже на уравнение Бернулли: \[\frac{y'}{y} - \sqrt{x} = \frac{4x}{y^2}\] Это не совсем стандартный вид. Давайте попробуем другой подход. Перенесем член с \(y^2\) в левую часть: \[yy' - y^2 \sqrt{x} = 4x\] Разделим все на \(y^2\): \[\frac{y'}{y} - \sqrt{x} = \frac{4x}{y^2}\] Это все еще не очень удобно. Давайте попробуем замену. Пусть \(z = y^2\). Тогда \(z' = 2yy'\), откуда \(yy' = \frac{1}{2}z'\). Подставим это в исходное уравнение: \[\frac{1}{2}z' - 4x = z \sqrt{x}\] Перепишем в стандартном виде линейного уравнения для \(z\): \[\frac{1}{2}z' - z \sqrt{x} = 4x\] Умножим на 2: \[z' - 2\sqrt{x} z = 8x\] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(z' + P(x)z = Q(x)\), где \(P(x) = -2\sqrt{x}\) и \(Q(x) = 8x\). Найдем интегрирующий множитель \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\). \[\int P(x) dx = \int -2\sqrt{x} dx = -2 \int x^{1/2} dx = -2 \frac{x^{3/2}}{3/2} = -2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = -\frac{4}{3}x^{3/2}\] Интегрирующий множитель: \[\mu(x) = e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] Умножим уравнение \(z' - 2\sqrt{x} z = 8x\) на \(\mu(x)\): \[e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} z' - 2\sqrt{x} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} z = 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] Левая часть является производной произведения \((z \cdot e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}})'\): \[(z \cdot e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}})' = 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] Теперь проинтегрируем обе части по \(x\): \[z \cdot e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\] Для вычисления интеграла в правой части сделаем замену: Пусть \(t = -\frac{4}{3}x^{3/2}\). Тогда \(dt = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} dx = -2x^{1/2} dx = -2\sqrt{x} dx\). Нам нужно выразить \(x\) и \(dx\). Из \(t = -\frac{4}{3}x^{3/2}\) следует \(x^{3/2} = -\frac{3}{4}t\). Возведем в степень \(2/3\): \(x = (-\frac{3}{4}t)^{2/3}\). Из \(dt = -2\sqrt{x} dx\) следует \(dx = -\frac{1}{2\sqrt{x}} dt = -\frac{1}{2x^{1/2}} dt\). Это не очень удобно. Давайте попробуем другую замену для интеграла \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(u = x^{3/2}\). Тогда \(du = \frac{3}{2}x^{1/2} dx\). Это тоже не упрощает \(x\). Посмотрим на производную показателя степени: \((-\frac{4}{3}x^{3/2})' = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = -2x^{1/2} = -2\sqrt{x}\). В интеграле у нас есть \(x\), а не \(\sqrt{x}\). Возможно, есть ошибка в условии или я неправильно интерпретировал. Давайте перепроверим. Если бы было \(\sqrt{x}\) вместо \(x\), то интеграл был бы проще. Предположим, что интеграл \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\) не берется в элементарных функциях. Однако, часто в таких задачах интеграл должен браться. Давайте попробуем интегрирование по частям. \(\int u dv = uv - \int v du\). Пусть \(dv = x^{1/2} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Тогда \(v = -\frac{1}{2} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\). Пусть \(u = 8x^{1/2}\). Тогда \(du = 4x^{-1/2} dx\). Это не упрощает. Давайте еще раз посмотрим на \(P(x) = -2\sqrt{x}\). \(\int -2x^{1/2} dx = -2 \frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{4}{3}x^{3/2}\). Это верно. Попробуем сделать замену \(t = x^{3/2}\). Тогда \(dt = \frac{3}{2}x^{1/2} dx\). Тогда \(x = t^{2/3}\). Интеграл: \(\int 8t^{2/3} e^{-\frac{4}{3}t} \frac{2}{3}t^{-1/3} dt = \int \frac{16}{3} t^{1/3} e^{-\frac{4}{3}t} dt\). Это тоже не упрощает. Возможно, в условии задачи подразумевается, что \(x\) в \(8x\) должен быть \(\sqrt{x}\) или \(x^{3/2}\) для того, чтобы интеграл был простым. Если бы правая часть была \(8\sqrt{x} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\), то: \(\int 8\sqrt{x} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(t = -\frac{4}{3}x^{3/2}\). Тогда \(dt = -2\sqrt{x} dx\). \(\int 8\sqrt{x} e^t \frac{dt}{-2\sqrt{x}} = \int -4 e^t dt = -4e^t + C = -4e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} + C\). В этом случае решение было бы: \(z \cdot e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = -4e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} + C\) \(z = -4 + Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}}\) И тогда \(y^2 = -4 + Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}}\). Но в условии стоит \(8x\). Давайте попробуем интегрирование по частям для \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(u = x\), \(dv = 8e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Тогда \(du = dx\). Найти \(v\) из \(dv\) сложно. Пусть \(u = e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\). Тогда \(du = -2\sqrt{x} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(dv = 8x dx\). Тогда \(v = 4x^2\). \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx = 4x^2 e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} - \int 4x^2 (-2\sqrt{x}) e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\) \(= 4x^2 e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} + \int 8x^{5/2} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Это усложняет интеграл. Если интеграл \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\) не берется в элементарных функциях, то решение будет содержать этот интеграл. Однако, обычно в школьных/университетских задачах на дифференциальные уравнения, интегралы берутся. Давайте еще раз внимательно посмотрим на уравнение. \[yy' - 4x = y^2 \sqrt{x}\] \[\frac{1}{2}(y^2)' - 4x = y^2 \sqrt{x}\] Пусть \(z = y^2\). \[\frac{1}{2}z' - 4x = z \sqrt{x}\] \[z' - 2\sqrt{x} z = 8x\] Интегрирующий множитель \(\mu(x) = e^{\int -2\sqrt{x} dx} = e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\). \[(z e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}})' = 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] \[z e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C\] Если предположить, что в задаче опечатка и вместо \(x\) в правой части должно быть \(\sqrt{x}\), то решение будет: \[z e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = -4e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} + C\] \[z = -4 + Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}}\] Возвращаясь к \(y\): \[y^2 = -4 + Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}}\] \[y = \pm \sqrt{Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}} - 4}\] Если же строго следовать условию, то интеграл \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\) не выражается через элементарные функции. В таком случае, решение будет выглядеть так: \[y^2 e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C\] \[y^2 = e^{\frac{4}{3}x^{3/2}} \left( \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C \right)\] Для школьника, скорее всего, предполагается, что интеграл должен быть простым. Давайте еще раз проверим, нет ли другого способа. Уравнение Бернулли: \(y' + P(x)y = Q(x)y^n\). Разделим исходное уравнение на \(y\): \[y' - \frac{4x}{y} = y\sqrt{x}\] Это не Бернулли. Разделим на \(y^2\): \[\frac{y'}{y} - \frac{4x}{y^2} = \sqrt{x}\] Пусть \(z = \frac{1}{y}\). Тогда \(z' = -\frac{y'}{y^2}\), или \(y' = -y^2 z'\). Подставим: \[\frac{-y^2 z'}{y} - \frac{4x}{y^2} = \sqrt{x}\] \[-yz' - \frac{4x}{y^2} = \sqrt{x}\] Это не упрощает. Вернемся к замене \(z = y^2\). \[z' - 2\sqrt{x} z = 8x\] Это линейное уравнение. Если бы правая часть была \(8x^{1/2}\) или \(8x^{3/2}\), то интеграл был бы проще. Например, если \(Q(x) = 8x^{1/2}\): \(\int 8x^{1/2} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(t = -\frac{4}{3}x^{3/2}\). \(dt = -2x^{1/2} dx\). \(\int 8x^{1/2} e^t \frac{dt}{-2x^{1/2}} = \int -4e^t dt = -4e^t + C = -4e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} + C\). Тогда \(y^2 = -4 + Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}}\). Если бы \(Q(x) = 8x^{3/2}\): \(\int 8x^{3/2} e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\). Пусть \(t = -\frac{4}{3}x^{3/2}\). Тогда \(x^{3/2} = -\frac{3}{4}t\). \(\int 8(-\frac{3}{4}t) e^t \frac{dt}{-2x^{1/2}}\). Это тоже не упрощает. Учитывая, что задача для школьника, наиболее вероятно, что либо интеграл берется, либо есть опечатка. Если интеграл \(\int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx\) не берется в элементарных функциях, то решение будет содержать этот интеграл. В математике такие интегралы называются неэлементарными. Давайте запишем решение, оставляя интеграл, так как это наиболее точный подход, если нет опечатки. Окончательный ответ: 1. Приводим уравнение к виду линейного дифференциального уравнения для \(z = y^2\): \[z' - 2\sqrt{x} z = 8x\] 2. Находим интегрирующий множитель: \[\mu(x) = e^{\int -2\sqrt{x} dx} = e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] 3. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель и интегрируем: \[(z e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}})' = 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}}\] \[z e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} = \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C\] 4. Выражаем \(z\): \[z = e^{\frac{4}{3}x^{3/2}} \left( \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C \right)\] 5. Возвращаемся к \(y\): \[y^2 = e^{\frac{4}{3}x^{3/2}} \left( \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C \right)\] \[y = \pm \sqrt{e^{\frac{4}{3}x^{3/2}} \left( \int 8x e^{-\frac{4}{3}x^{3/2}} dx + C \right)}\] Если же предполагается, что в правой части была опечатка и вместо \(8x\) должно было быть \(8\sqrt{x}\), то решение было бы: \[y = \pm \sqrt{Ce^{\frac{4}{3}x^{3/2}} - 4}\] Но я буду придерживаться исходного условия.