Решение дифференциального уравнения: sin y dx = (1 - cos x) dy

Решим дифференциальное уравнение: \[\sin y dx = (1 - \cos x) dy\] Это уравнение с разделяющимися переменными. Наша цель — собрать все члены с \(x\) вместе с \(dx\) и все члены с \(y\) вместе с \(dy\). Разделим обе части уравнения на \((1 - \cos x)\) и на \(\sin y\): \[\frac{dx}{1 - \cos x} = \frac{dy}{\sin y}\] Теперь проинтегрируем обе части уравнения: \[\int \frac{dx}{1 - \cos x} = \int \frac{dy}{\sin y}\] Рассмотрим левый интеграл: \[\int \frac{dx}{1 - \cos x}\] Воспользуемся тригонометрической формулой \(1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\): \[\int \frac{dx}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}dx\] Мы знаем, что \(\frac{1}{\sin^2\alpha} = \csc^2\alpha\), а \(\int \csc^2\alpha d\alpha = -\cot\alpha\). Сделаем замену \(t = \frac{x}{2}\), тогда \(dt = \frac{1}{2}dx\), или \(dx = 2dt\). \[\frac{1}{2} \int \csc^2(t) (2dt) = \int \csc^2(t) dt = -\cot(t) = -\cot\left(\frac{x}{2}\right)\] Рассмотрим правый интеграл: \[\int \frac{dy}{\sin y}\] Воспользуемся формулой для интеграла косеканса: \(\int \csc y dy = \ln\left|\tan\left(\frac{y}{2}\right)\right|\) или \(\ln\left|\csc y - \cot y\right|\). Используем первую формулу: \[\int \frac{dy}{\sin y} = \ln\left|\tan\left(\frac{y}{2}\right)\right|\] Приравниваем результаты интегрирования и добавляем константу интегрирования \(C\): \[-\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \ln\left|\tan\left(\frac{y}{2}\right)\right| + C\] Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.