Решение Дифференциального Уравнения xy' = √(x²+y²)+y

Решим дифференциальное уравнение: \[xy' = \sqrt{x^2 + y^2} + y\] Это однородное дифференциальное уравнение, так как все члены имеют одинаковую степень (степень 1). Перепишем его в виде \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\). Разделим обе части на \(x\): \[y' = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} + \frac{y}{x}\] \[y' = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} + \frac{y}{x}\] \[y' = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} + \frac{y}{x}\] Теперь сделаем замену: Пусть \(u = \frac{y}{x}\). Тогда \(y = ux\). Дифференцируем \(y\) по \(x\): \[y' = u'x + u\] Подставим \(y'\) и \(u\) в уравнение: \[u'x + u = \sqrt{1 + u^2} + u\] Вычтем \(u\) из обеих частей: \[u'x = \sqrt{1 + u^2}\] Заменим \(u'\) на \(\frac{du}{dx}\): \[x\frac{du}{dx} = \sqrt{1 + u^2}\] Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: \[\frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \frac{dx}{x}\] Теперь проинтегрируем обе части: \[\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \int \frac{dx}{x}\] Левый интеграл — это табличный интеграл: \[\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} = \ln\left|u + \sqrt{1 + u^2}\right|\] Правый интеграл: \[\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1\] Приравниваем результаты интегрирования: \[\ln\left|u + \sqrt{1 + u^2}\right| = \ln|x| + C_1\] Чтобы избавиться от логарифмов, представим константу \(C_1\) как \(\ln|C|\), где \(C > 0\): \[\ln\left|u + \sqrt{1 + u^2}\right| = \ln|x| + \ln|C|\] \[\ln\left|u + \sqrt{1 + u^2}\right| = \ln|Cx|\] Убираем логарифмы: \[u + \sqrt{1 + u^2} = Cx\] Теперь подставим обратно \(u = \frac{y}{x}\): \[\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = Cx\] \[\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = Cx\] \[\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = Cx\] \[\frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|x|} = Cx\] Предположим, что \(x > 0\). Тогда \(|x| = x\): \[\frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = Cx\] Умножим обе части на \(x\): \[y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2\] Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\): \[\frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{-x} = Cx\] \[\frac{y}{x} - \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = Cx\] Умножим обе части на \(x\): \[y - \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2\] Это можно записать как \(\sqrt{x^2 + y^2} - y = -Cx^2\). Если \(C\) может быть любой константой, то \(-C\) тоже любая константа. Таким образом, общее решение можно записать как: \[y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2\] или \[\sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2 - y\] Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня (при этом нужно помнить о возможных посторонних решениях): \[x^2 + y^2 = (Cx^2 - y)^2\] \[x^2 + y^2 = C^2x^4 - 2Cx^2y + y^2\] \[x^2 = C^2x^4 - 2Cx^2y\] Если \(x \neq 0\), то можно разделить на \(x^2\): \[1 = C^2x^2 - 2Cy\] \[2Cy = C^2x^2 - 1\] \[y = \frac{C^2x^2 - 1}{2C}\] \[y = \frac{C}{2}x^2 - \frac{1}{2C}\] Обозначим \(\frac{C}{2} = A\). Тогда \(\frac{1}{2C} = \frac{1}{4A}\). \[y = Ax^2 - \frac{1}{4A}\] Это семейство парабол. Также стоит рассмотреть случай \(x=0\). Из исходного уравнения \(xy' = \sqrt{x^2 + y^2} + y\), если \(x=0\), то \(0 = \sqrt{0 + y^2} + y\), то есть \(0 = |y| + y\). Это выполняется, если \(y \le 0\). Таким образом, \(x=0, y \le 0\) является особым решением. Окончательное решение можно оставить в виде: \[\sqrt{x^2 + y^2} + y = Cx^2\] или \[y = \frac{C}{2}x^2 - \frac{1}{2C}\] (при условии, что \(C \neq 0\)). Если \(C=0\), то из \(\sqrt{x^2 + y^2} + y = Cx^2\) получаем \(\sqrt{x^2 + y^2} + y = 0\), что означает \(\sqrt{x^2 + y^2} = -y\). Это возможно только если \(y \le 0\). Возводя в квадрат, получаем \(x^2 + y^2 = y^2\), то есть \(x^2 = 0\), что означает \(x=0\). Таким образом, \(x=0\) и \(y \le 0\) является особым решением, которое не охватывается общим решением при \(C \neq 0\).