Решение дифференциального уравнения y' = (x-2y+3)/(-2x-2)

Решим дифференциальное уравнение: \[y' = \frac{x - 2y + 3}{-2x - 2}\] Это уравнение вида \(y' = \frac{ax + by + c}{Ax + By + C}\). Сначала проверим, пересекаются ли прямые \(x - 2y + 3 = 0\) и \(-2x - 2 = 0\). Из второго уравнения: \(-2x - 2 = 0 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1\). Подставим \(x = -1\) в первое уравнение: \(-1 - 2y + 3 = 0\) \(2 - 2y = 0\) \(2y = 2\) \(y = 1\) Точка пересечения прямых \((x_0, y_0) = (-1, 1)\). Сделаем замену переменных: Пусть \(x = X + x_0 = X - 1\) Пусть \(y = Y + y_0 = Y + 1\) Тогда \(dx = dX\) и \(dy = dY\), следовательно \(y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX} = Y'\). Подставим эти замены в исходное уравнение: \(x - 2y + 3 = (X - 1) - 2(Y + 1) + 3 = X - 1 - 2Y - 2 + 3 = X - 2Y\) \(-2x - 2 = -2(X - 1) - 2 = -2X + 2 - 2 = -2X\) Таким образом, уравнение преобразуется к виду: \[Y' = \frac{X - 2Y}{-2X}\] \[Y' = -\frac{1}{2} + \frac{Y}{X}\] \[Y' = \frac{Y}{X} - \frac{1}{2}\] Это однородное дифференциальное уравнение. Сделаем еще одну замену: Пусть \(u = \frac{Y}{X}\). Тогда \(Y = uX\). Дифференцируем \(Y\) по \(X\): \[Y' = u'X + u\] Подставим \(Y'\) и \(u\) в уравнение: \[u'X + u = u - \frac{1}{2}\] \[u'X = -\frac{1}{2}\] Заменим \(u'\) на \(\frac{du}{dX}\): \[X\frac{du}{dX} = -\frac{1}{2}\] Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: \[du = -\frac{1}{2X}dX\] Проинтегрируем обе части: \[\int du = \int -\frac{1}{2X}dX\] \[u = -\frac{1}{2}\ln|X| + C\] Теперь выполним обратные замены. Сначала \(u = \frac{Y}{X}\): \[\frac{Y}{X} = -\frac{1}{2}\ln|X| + C\] \[Y = X\left(C - \frac{1}{2}\ln|X|\right)\] Теперь заменим \(X = x + 1\) и \(Y = y - 1\): \[y - 1 = (x + 1)\left(C - \frac{1}{2}\ln|x + 1|\right)\] Окончательное решение: \[y = 1 + (x + 1)\left(C - \frac{1}{2}\ln|x + 1|\right)\] Проверим знаменатель исходного уравнения: \(-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1\). В этом случае решение не определено, что согласуется с наличием \(\ln|x+1|\) в решении.