10. Шарик массой \(m = 0,50\) кг, подвешенный на упругом лёгком шнуре с коэффициентом жёсткости \(k = 100 \frac{Н}{м}\), равномерно движется по окружности так, что шнур описывает коническую поверхность, образуя угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью. Определите угловую скорость \(\omega\) вращения шарика, если длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см.
Решение:
На шарик действуют две силы:
- Сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вертикально вниз.
- Сила упругости шнура \(F_{упр} = k \cdot \Delta l\), направленная вдоль шнура. Здесь \(\Delta l\) - удлинение шнура.
Разложим силу упругости на две составляющие: вертикальную \(F_{упр,y}\) и горизонтальную \(F_{упр,x}\).
Вертикальная составляющая силы упругости уравновешивает силу тяжести (поскольку движение по вертикали отсутствует):
\[F_{упр,y} = F_{упр} \cdot \cos \alpha = m \cdot g \quad (1)\]Горизонтальная составляющая силы упругости создает центростремительную силу, которая удерживает шарик на окружности:
\[F_{упр,x} = F_{упр} \cdot \sin \alpha = m \cdot a_ц = m \cdot \omega^2 \cdot R \quad (2)\]Где \(R\) - радиус окружности, по которой движется шарик. Радиус \(R\) связан с длиной деформированного шнура \(l\) и углом \(\alpha\):
\[R = l \cdot \sin \alpha \quad (3)\]Длина деформированного шнура \(l\) равна сумме его начальной длины \(l_0\) и удлинения \(\Delta l\):
\[l = l_0 + \Delta l \quad (4)\]Из уравнения (1) выразим силу упругости \(F_{упр}\):
\[F_{упр} = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \quad (5)\]Также по закону Гука \(F_{упр} = k \cdot \Delta l\). Приравняем это к выражению (5):
\[k \cdot \Delta l = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha}\]Отсюда найдем удлинение \(\Delta l\):
\[\Delta l = \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha} \quad (6)\]Теперь подставим \(F_{упр}\) из (5) в уравнение (2):
\[\frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot R\] \[m \cdot g \cdot \tan \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot R\]Сократим массу \(m\):
\[g \cdot \tan \alpha = \omega^2 \cdot R \quad (7)\]Теперь нам нужно выразить \(R\) через известные величины. Подставим \(\Delta l\) из (6) в (4):
\[l = l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha} \quad (8)\]Теперь подставим \(l\) из (8) в (3) для получения \(R\):
\[R = \left(l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha}\right) \cdot \sin \alpha \quad (9)\]Наконец, подставим \(R\) из (9) в (7):
\[g \cdot \tan \alpha = \omega^2 \cdot \left(l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha}\right) \cdot \sin \alpha\]Выразим \(\omega^2\):
\[\omega^2 = \frac{g \cdot \tan \alpha}{\left(l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha}\right) \cdot \sin \alpha}\]Можно упростить, используя \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[\omega^2 = \frac{g \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\left(l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha}\right) \cdot \sin \alpha}\]Сократим \(\sin \alpha\) (при условии \(\sin \alpha \neq 0\), что верно для \(\alpha = 60^\circ\)):
\[\omega^2 = \frac{\frac{g}{\cos \alpha}}{l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha}}\] \[\omega^2 = \frac{g}{l_0 \cdot \cos \alpha + \frac{m \cdot g}{k}}\]Теперь подставим численные значения:
\(m = 0,50\) кг
\(k = 100 \frac{Н}{м}\)
\(\alpha = 60^\circ\)
\(l_0 = 70\) см \( = 0,70\) м
\(g \approx 10 \frac{м}{с^2}\)
Найдем \(\cos 60^\circ = 0,5\).
Подставим значения в формулу для \(\omega^2\):
\[\omega^2 = \frac{10 \frac{м}{с^2}}{0,70 \text{ м} \cdot 0,5 + \frac{0,50 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2}}{100 \frac{Н}{м}}}\] \[\omega^2 = \frac{10}{0,35 + \frac{5}{100}}\] \[\omega^2 = \frac{10}{0,35 + 0,05}\] \[\omega^2 = \frac{10}{0,40}\] \[\omega^2 = 25 \frac{рад^2}{с^2}\]Теперь найдем \(\omega\):
\[\omega = \sqrt{25 \frac{рад^2}{с^2}} = 5 \frac{рад}{с}\]Ответ: \(5 \frac{рад}{с}\).