Вариант 10
1. HG(3; 5; 3) В коробке находится 3 белых и 2 черных шара. Выбрали 3 шара. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров 2 белых и 1 черный. Составить закон распределения С.В. X- число белых шаров среди трех взятых. Построить многоугольник распределения и функцию распределения. Найти числовые характеристики С.В. X.
Решение:
Это задача на гипергеометрическое распределение, так как выборка производится без возвращения из конечной совокупности, состоящей из двух типов элементов.
Обозначим:
- \(N\) - общее количество шаров в коробке. \(N = 3 \text{ (белых)} + 2 \text{ (черных)} = 5\) шаров.
- \(M\) - количество белых шаров в коробке. \(M = 3\).
- \(N-M\) - количество черных шаров в коробке. \(N-M = 2\).
- \(n\) - количество выбранных шаров. \(n = 3\).
- \(X\) - случайная величина, число белых шаров среди трех взятых.
Возможные значения случайной величины \(X\) (число белых шаров среди 3 выбранных):
Минимальное количество белых шаров: \(max(0, n - (N-M)) = max(0, 3 - 2) = max(0, 1) = 1\).
Максимальное количество белых шаров: \(min(n, M) = min(3, 3) = 3\).
Таким образом, \(X\) может принимать значения: 1, 2, 3.
Формула вероятности для гипергеометрического распределения:
\[P(X=k) = \frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\]где \(C_a^b = \frac{a!}{b!(a-b)!}\) - число сочетаний из \(a\) по \(b\).
Вычислим общее количество способов выбрать 3 шара из 5:
\[C_N^n = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения \(X\):
1. Вероятность того, что среди выбранных шаров 2 белых и 1 черный.
Это соответствует \(X=2\).
\[P(X=2) = \frac{C_3^2 \cdot C_2^1}{C_5^3}\] \[C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3\] \[C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2\] \[P(X=2) = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6\]Ответ на первый вопрос: Вероятность того, что среди выбранных шаров 2 белых и 1 черный, равна 0.6.
2. Составить закон распределения С.В. X- число белых шаров среди трех взятых.
Вычислим вероятности для всех возможных значений \(X\):
Для \(X=1\) (1 белый шар и 2 черных):
\[P(X=1) = \frac{C_3^1 \cdot C_2^2}{C_5^3}\] \[C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3\] \[C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1\] \[P(X=1) = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10} = 0.3\]Для \(X=2\) (2 белых шара и 1 черный):
Мы уже вычислили: \(P(X=2) = 0.6\).
Для \(X=3\) (3 белых шара и 0 черных):
\[P(X=3) = \frac{C_3^3 \cdot C_2^0}{C_5^3}\] \[C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1\] \[C_2^0 = \frac{2!}{0!(2-0)!} = \frac{2!}{0!2!} = 1\] \[P(X=3) = \frac{1 \cdot 1}{10} = \frac{1}{10} = 0.1\]Проверим сумму вероятностей: \(0.3 + 0.6 + 0.1 = 1\). Все верно.
Закон распределения случайной величины \(X\) можно представить в виде таблицы:
| \(X\) | 1 | 2 | 3 |
| \(P(X)\) | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
3. Построить многоугольник распределения.
Многоугольник распределения строится по точкам \((x_i, P(x_i))\). На горизонтальной оси откладываются значения \(X\), на вертикальной оси - соответствующие вероятности. Точки соединяются отрезками.
- (1; 0.3)
- (2; 0.6)
- (3; 0.1)
(Здесь я не могу нарисовать график, но вы можете построить его, отложив эти точки на координатной плоскости и соединив их отрезками.)
4. Построить функцию распределения.
Функция распределения \(F(x)\) определяется как \(F(x) = P(X < x)\).
- Если \(x \le 1\), то \(F(x) = 0\).
- Если \(1 < x \le 2\), то \(F(x) = P(X=1) = 0.3\).
- Если \(2 < x \le 3\), то \(F(x) = P(X=1) + P(X=2) = 0.3 + 0.6 = 0.9\).
- Если \(x > 3\), то \(F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.3 + 0.6 + 0.1 = 1\).
Таким образом, функция распределения имеет вид:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ 0.3, & 1 < x \le 2 \\ 0.9, & 2 < x \le 3 \\ 1, & x > 3 \end{cases}\](График функции распределения будет ступенчатым: горизонтальные отрезки с "прыжками" в точках 1, 2, 3.)
5. Найти числовые характеристики С.В. X.
Математическое ожидание \(M(X)\):
\[M(X) = \sum x_i P(x_i)\] \[M(X) = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.6 + 3 \cdot 0.1\] \[M(X) = 0.3 + 1.2 + 0.3\] \[M(X) = 1.8\]Дисперсия \(D(X)\):
\[D(X) = \sum x_i^2 P(x_i) - (M(X))^2\]Сначала найдем \(\sum x_i^2 P(x_i)\):
\[\sum x_i^2 P(x_i) = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.6 + 3^2 \cdot 0.1\] \[\sum x_i^2 P(x_i) = 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.6 + 9 \cdot 0.1\] \[\sum x_i^2 P(x_i) = 0.3 + 2.4 + 0.9\] \[\sum x_i^2 P(x_i) = 3.6\]Теперь вычислим дисперсию:
\[D(X) = 3.6 - (1.8)^2\] \[D(X) = 3.6 - 3.24\] \[D(X) = 0.36\]Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\):
\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\] \[\sigma(X) = \sqrt{0.36}\] \[\sigma(X) = 0.6\]Ответ:
- Вероятность того, что среди выбранных шаров 2 белых и 1 черный, равна 0.6.
- Закон распределения С.В. X:
\(X\) 1 2 3 \(P(X)\) 0.3 0.6 0.1 - Многоугольник распределения строится по точкам (1; 0.3), (2; 0.6), (3; 0.1).
- Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ 0.3, & 1 < x \le 2 \\ 0.9, & 2 < x \le 3 \\ 1, & x > 3 \end{cases}\]
- Числовые характеристики:
- Математическое ожидание \(M(X) = 1.8\)
- Дисперсия \(D(X) = 0.36\)
- Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X) = 0.6\)