Решение систем показательных уравнений и неравенств (10 класс)

Решение систем показательных уравнений и неравенств (Вариант 1). Задача №1. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} \] Перемножим левые и правые части уравнений: \[ (3^x \cdot 5^y) \cdot (3^y \cdot 5^x) = 75 \cdot 45 \] \[ 3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3375 \] \[ (3 \cdot 5)^{x+y} = 15^3 \] \[ 15^{x+y} = 15^3 \Rightarrow x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x \] Подставим \( y = 3 - x \) в первое уравнение: \[ 3^x \cdot 5^{3-x} = 75 \] \[ 3^x \cdot \frac{5^3}{5^x} = 75 \] \[ \left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot 125 = 75 \] \[ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{75}{125} = \frac{3}{5} \] Отсюда \( x = 1 \). Найдем \( y \): \[ y = 3 - 1 = 2 \] Ответ: (1; 2). Задача №2. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+2} - 3^{y+1} = 5 \end{cases} \] Преобразуем второе уравнение: \[ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 4 \cdot 2^x - 3 \cdot 3^y = 5 \end{cases} \] Пусть \( 2^x = u \), \( 3^y = v \), где \( u, v > 0 \): \[ \begin{cases} u + v = 17 \\ 4u - 3v = 5 \end{cases} \] Выразим \( v = 17 - u \) и подставим во второе: \[ 4u - 3(17 - u) = 5 \] \[ 4u - 51 + 3u = 5 \] \[ 7u = 56 \Rightarrow u = 8 \] Тогда \( v = 17 - 8 = 9 \). Вернемся к замене: \[ 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 \] \[ 3^y = 9 \Rightarrow 3^y = 3^2 \Rightarrow y = 2 \] Ответ: (3; 2). Задача №3. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3^x + 3^y = 36 \\ 3^{x-y} = \frac{1}{3} \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ 3^{x-y} = 3^{-1} \Rightarrow x - y = -1 \Rightarrow x = y - 1 \] Подставим в первое уравнение: \[ 3^{y-1} + 3^y = 36 \] \[ \frac{3^y}{3} + 3^y = 36 \] Вынесем \( 3^y \) за скобки: \[ 3^y \left(\frac{1}{3} + 1\right) = 36 \] \[ 3^y \cdot \frac{4}{3} = 36 \] \[ 3^y = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27 \] \[ 3^y = 3^3 \Rightarrow y = 3 \] Найдем \( x \): \[ x = 3 - 1 = 2 \] Ответ: (2; 3). Задача №4. Решим систему неравенств: \[ \begin{cases} 4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \le 0 \\ (\frac{1}{2})^{x^2+1} > \frac{1}{4} \end{cases} \] Решим первое неравенство. Пусть \( 2^x = t \), \( t > 0 \): \[ t^2 - 5t + 4 \le 0 \] Корни уравнения \( t^2 - 5t + 4 = 0 \) по теореме Виета: \( t_1 = 1, t_2 = 4 \). Решение по методу интервалов: \( 1 \le t \le 4 \). Обратная замена: \[ 1 \le 2^x \le 4 \Rightarrow 2^0 \le 2^x \le 2^2 \Rightarrow 0 \le x \le 2 \] Решим второе неравенство: \[ (\frac{1}{2})^{x^2+1} > (\frac{1}{2})^2 \] Так как основание \( \frac{1}{2} < 1 \), знак неравенства меняется: \[ x^2 + 1 < 2 \] \[ x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1 \] Найдем пересечение решений: \[ \begin{cases} 0 \le x \le 2 \\ -1 < x < 1 \end{cases} \Rightarrow 0 \le x < 1 \] Ответ: [0; 1).