Решение системы уравнений: x + 2√xy + y = 9 и x² + 3xy + y² = 29

Решение системы уравнений под буквой б) Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x + 2\sqrt{xy} + y = 9 \\ x^2 + 3xy + y^2 = 29 \end{cases} \] Заметим, что первое уравнение представляет собой полный квадрат суммы корней. Перепишем его: \[ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 9 \] Отсюда следует, что \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \) (так как корень из числа не может быть отрицательным в данном контексте). Также из первого уравнения можно выразить сумму \( x + y \): \[ x + y = 9 - 2\sqrt{xy} \] Для решения введем новые переменные: Пусть \( u = x + y \), а \( v = xy \). Тогда второе уравнение \( x^2 + 3xy + y^2 = 29 \) можно преобразовать, используя формулу \( x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \): \[ (x+y)^2 - 2xy + 3xy = 29 \] \[ (x+y)^2 + xy = 29 \] \[ u^2 + v = 29 \] Теперь выразим \( v \) через \( u \) из первого уравнения. Возведем \( x + y = 9 - 2\sqrt{xy} \) в квадрат не совсем удобно, лучше использовать \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \). Возведем обе части в квадрат: \( x + 2\sqrt{xy} + y = 9 \), что и так дано. Пусть \( \sqrt{xy} = t \), тогда \( v = t^2 \). Из первого уравнения: \( u + 2t = 9 \Rightarrow u = 9 - 2t \). Подставим во второе уравнение \( u^2 + t^2 = 29 \): \[ (9 - 2t)^2 + t^2 = 29 \] \[ 81 - 36t + 4t^2 + t^2 = 29 \] \[ 5t^2 - 36t + 52 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 52 = 1296 - 1040 = 256 = 16^2 \] \[ t_1 = \frac{36 + 16}{10} = \frac{52}{10} = 5,2 \] \[ t_2 = \frac{36 - 16}{10} = \frac{20}{10} = 2 \] Проверим первый корень \( t_1 = 5,2 \): Если \( \sqrt{xy} = 5,2 \), то \( u = 9 - 2 \cdot 5,2 = 9 - 10,4 = -1,4 \). Так как \( x \) и \( y \) должны быть положительными (под корнем в условии), их сумма \( u = x + y \) не может быть отрицательной. Этот корень не подходит. Проверим второй корень \( t_2 = 2 \): Если \( \sqrt{xy} = 2 \), то \( xy = 4 \). Тогда \( u = 9 - 2 \cdot 2 = 5 \), то есть \( x + y = 5 \). Получаем простую систему: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} \] По теореме, обратной теореме Виета, \( x \) и \( y \) являются корнями уравнения \( z^2 - 5z + 4 = 0 \). Корни этого уравнения: \( z_1 = 1 \), \( z_2 = 4 \). Таким образом, получаем две пары решений: 1) \( x = 1, y = 4 \) 2) \( x = 4, y = 1 \) Ответ: (1; 4), (4; 1).