Решение системы уравнений методом введения новых переменных

Решение систем уравнений методом введения новых переменных. а) \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что выражения в левых частях симметричны относительно \(x\) и \(y\). Введем новые переменные: \[ u = x + y, \quad v = xy \] Тогда \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v\). Подставим эти выражения в систему: \[ \begin{cases} (u^2 - 2v) - v = 19 \\ 3(u^2 - 2v) - 4v = 42 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^2 - 3v = 19 \\ 3u^2 - 10v = 42 \end{cases} \] Выразим \(u^2\) из первого уравнения: \(u^2 = 19 + 3v\). Подставим во второе: \[ 3(19 + 3v) - 10v = 42 \] \[ 57 + 9v - 10v = 42 \] \[ -v = 42 - 57 \] \[ -v = -15 \Rightarrow v = 15 \] Найдем \(u^2\): \[ u^2 = 19 + 3 \cdot 15 = 19 + 45 = 64 \Rightarrow u = \pm 8 \] Рассмотрим два случая: 1) \(u = 8, v = 15\). По теореме, обратной теореме Виета, \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - 8t + 15 = 0\). Корни: \(t_1 = 3, t_2 = 5\). Получаем решения: \((3; 5)\) и \((5; 3)\). 2) \(u = -8, v = 15\). Уравнение: \(t^2 + 8t + 15 = 0\). Корни: \(t_1 = -3, t_2 = -5\). Получаем решения: \((-3; -5)\) и \((-5; -3)\). Ответ: \((3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3)\). б) \[ \begin{cases} x + 2\sqrt{xy} + y = 9 \\ x^2 + 3xy + y^2 = 29 \end{cases} \] ОДЗ: \(xy \ge 0\). Заметим, что первое уравнение можно переписать как \((\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 9\), но удобнее использовать замену: \[ a = \sqrt{x} + \sqrt{y} \text{ (не подходит напрямую)}, \text{ лучше } u = x + y, v = \sqrt{xy} \] Тогда первое уравнение: \(u + 2v = 9 \Rightarrow u = 9 - 2v\). Второе уравнение: \((x^2 + 2xy + y^2) + xy = 29 \Rightarrow (x + y)^2 + xy = 29\). Так как \(v = \sqrt{xy}\), то \(xy = v^2\). Подставляем: \[ u^2 + v^2 = 29 \] Подставим \(u = 9 - 2v\): \[ (9 - 2v)^2 + v^2 = 29 \] \[ 81 - 36v + 4v^2 + v^2 = 29 \] \[ 5v^2 - 36v + 52 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 52 = 1296 - 1040 = 256 = 16^2 \] \[ v_1 = \frac{36 + 16}{10} = 5.2, \quad v_2 = \frac{36 - 16}{10} = 2 \] Если \(v = 5.2\), то \(u = 9 - 2 \cdot 5.2 = 9 - 10.4 = -1.4\). Система: \(x + y = -1.4, xy = 5.2^2 = 27.04\). Проверим дискриминант для \(t^2 + 1.4t + 27.04 = 0\): \(D = 1.96 - 4 \cdot 27.04 < 0\). Корней нет. Если \(v = 2\), то \(u = 9 - 2 \cdot 2 = 5\). Система: \(x + y = 5, xy = 2^2 = 4\). По теореме Виета корни уравнения \(t^2 - 5t + 4 = 0\): \(t_1 = 1, t_2 = 4\). Получаем решения: \((1; 4)\) и \((4; 1)\). Ответ: \((1; 4), (4; 1)\).