Решение системы уравнений: x^2 - xy + y^2 = 19 и 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42

Решение системы уравнений под буквой а) Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что левые части обоих уравнений являются однородными многочленами второй степени. Для решения введем новые переменные. Пусть: \[ u = x^2 + y^2 \] \[ v = xy \] Тогда система примет вид: \[ \begin{cases} u - v = 19 \\ 3u - 4v = 42 \end{cases} \] Выразим \( u \) из первого уравнения: \[ u = 19 + v \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 3(19 + v) - 4v = 42 \] \[ 57 + 3v - 4v = 42 \] \[ -v = 42 - 57 \] \[ -v = -15 \] \[ v = 15 \] Теперь найдем \( u \): \[ u = 19 + 15 = 34 \] Возвращаемся к переменным \( x \) и \( y \): \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} \] Для решения этой системы воспользуемся формулами сокращенного умножения. Сначала прибавим к первому уравнению второе, умноженное на 2, а затем вычтем: 1) \( x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 2 \cdot 15 \) \[ (x + y)^2 = 64 \Rightarrow x + y = 8 \text{ или } x + y = -8 \] 2) \( x^2 - 2xy + y^2 = 34 - 2 \cdot 15 \) \[ (x - y)^2 = 4 \Rightarrow x - y = 2 \text{ или } x - y = -2 \] Рассмотрим возможные комбинации: Случай 1: \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5, y = 3 \] Случай 2: \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = -2 \end{cases} \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3, y = 5 \] Случай 3: \[ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = 2 \end{cases} \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3, y = -5 \] Случай 4: \[ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases} \Rightarrow 2x = -10 \Rightarrow x = -5, y = -3 \] Ответ: (5; 3), (3; 5), (-3; -5), (-5; -3).