В задачах 64-67 физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой \(M\) с укрепленным на нем маленьким шариком массой \(m\). Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку \(O\) на стержне. Определить период гармонических колебаний маятника, изображенного на рисунке. Длина стержня \(L = 1\) м. Шарик рассматривать как материальную точку.
Дано:
- Масса стержня: \(M\)
- Масса шарика: \(m\)
- Длина стержня: \(L = 1\) м
- Ось вращения проходит через точку \(O\), расположенную на расстоянии \(L/2\) от верхнего конца стержня.
Найти:
- Период гармонических колебаний маятника \(T\).
Решение:
Физический маятник - это твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.
Период гармонических колебаний физического маятника определяется формулой:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M_{общ} g d}}\]где:
- \(I\) - момент инерции маятника относительно оси вращения.
- \(M_{общ}\) - общая масса маятника.
- \(g\) - ускорение свободного падения.
- \(d\) - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.
1. Определим общую массу маятника \(M_{общ}\):
Маятник состоит из стержня массой \(M\) и шарика массой \(m\). Следовательно, общая масса:
\[M_{общ} = M + m\]2. Определим положение центра масс маятника:
Ось вращения \(O\) находится на расстоянии \(L/2\) от верхнего конца стержня. Это означает, что ось вращения проходит через центр стержня, так как стержень однородный и его центр масс находится в середине.
Центр масс стержня \(C_M\) находится на расстоянии \(L/2\) от верхнего конца, то есть совпадает с точкой \(O\).
Шарик массой \(m\) расположен на нижнем конце стержня. Расстояние от оси вращения \(O\) до шарика равно \(L/2\).
Найдем положение общего центра масс маятника \(C_{общ}\) относительно оси вращения \(O\). Пусть ось \(y\) направлена вниз от точки \(O\).
Координата центра масс стержня \(y_M = 0\) (относительно \(O\)).
Координата центра масс шарика \(y_m = L/2\) (относительно \(O\)).
Координата общего центра масс \(y_{общ}\) определяется по формуле:
\[y_{общ} = \frac{M y_M + m y_m}{M + m}\] \[y_{общ} = \frac{M \cdot 0 + m \cdot (L/2)}{M + m}\] \[y_{общ} = \frac{m L/2}{M + m}\]Расстояние \(d\) от оси вращения до общего центра масс маятника равно \(|y_{общ}|\):
\[d = \frac{m L}{2(M + m)}\]3. Определим момент инерции маятника относительно оси вращения \(O\):
Момент инерции маятника \(I\) складывается из момента инерции стержня \(I_M\) и момента инерции шарика \(I_m\) относительно оси \(O\).
а) Момент инерции однородного стержня массой \(M\) и длиной \(L\) относительно оси, проходящей через его центр (середину), равен:
\[I_{стержня, центр} = \frac{1}{12} M L^2\]В нашем случае ось вращения \(O\) проходит через центр стержня, поэтому:
\[I_M = \frac{1}{12} M L^2\]б) Шарик рассматривается как материальная точка массой \(m\), расположенная на расстоянии \(L/2\) от оси вращения \(O\). Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен \(m r^2\), где \(r\) - расстояние от точки до оси.
\[I_m = m \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} m L^2\]в) Общий момент инерции маятника \(I\):
\[I = I_M + I_m = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{4} m L^2\] \[I = L^2 \left(\frac{M}{12} + \frac{m}{4}\right)\] \[I = L^2 \left(\frac{M + 3m}{12}\right)\]4. Подставим полученные значения в формулу для периода колебаний:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M_{общ} g d}}\] \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L^2 \left(\frac{M + 3m}{12}\right)}{(M + m) g \frac{m L}{2(M + m)}} }\]Упростим выражение под корнем:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L^2 (M + 3m)}{12} \cdot \frac{2(M + m)}{(M + m) g m L}}\]Сократим \((M + m)\) и \(L\):
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L (M + 3m)}{12} \cdot \frac{2}{g m}}\] \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L (M + 3m)}{6 g m}}\]Ответ:
Период гармонических колебаний маятника определяется формулой:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L (M + 3m)}{6 g m}}\]