Решение задачи: Вероятность встречи Оли и Маши

Вот подробное решение задачи. Задача: Оля и Маша договорились встретиться в определённом месте с 13:00 до 14:00 часов и подождать друг друга в течение 5 минут. Какова вероятность, что встреча состоится, если моменты прихода каждого из них в течение указанного времени равновероятны? Ответ дайте с точностью до сотых. Решение: 1. Определим временной интервал. Оля и Маша договорились встретиться с 13:00 до 14:00. Это составляет 1 час. Переведём 1 час в минуты: \(1 \text{ час} = 60 \text{ минут}\). 2. Обозначим время прихода Оли как \(x\) и время прихода Маши как \(y\). Оба \(x\) и \(y\) могут принимать значения от 0 до 60 минут (относительно 13:00). То есть, \(0 \le x \le 60\) и \(0 \le y \le 60\). Это можно представить как квадрат на координатной плоскости с вершинами в точках (0,0), (60,0), (60,60), (0,60). Площадь этого квадрата будет равна \(60 \times 60 = 3600\) квадратных минут. Эта площадь представляет собой общее количество всех возможных исходов. 3. Определим условие встречи. Встреча состоится, если разница между моментами прихода Оли и Маши не превышает 5 минут. Это можно записать как: \(|x - y| \le 5\) 4. Раскроем неравенство \(|x - y| \le 5\): Это означает, что: \(-5 \le x - y \le 5\) Разделим это на два отдельных неравенства: а) \(x - y \le 5 \implies y \ge x - 5\) б) \(x - y \ge -5 \implies y \le x + 5\) 5. Построим область благоприятных исходов на координатной плоскости. У нас есть квадрат со стороной 60. На этом квадрате мы должны найти область, где выполняются условия \(y \ge x - 5\) и \(y \le x + 5\). Эти два неравенства определяют полосу между двумя прямыми: Прямая 1: \(y = x - 5\) Прямая 2: \(y = x + 5\) Область благоприятных исходов - это часть квадрата, которая находится между этими двумя прямыми. 6. Вычислим площадь области благоприятных исходов. Проще всего вычислить площадь всей области (квадрата) и вычесть из неё площади "неблагоприятных" областей. Неблагоприятные области - это два треугольника, которые находятся вне полосы \(|x - y| \le 5\). Эти треугольники образуются в углах квадрата: * Один треугольник в верхнем левом углу, где \(y > x + 5\). Его вершины: (0,5), (0,60), (55,60). * Другой треугольник в нижнем правом углу, где \(y < x - 5\). Его вершины: (5,0), (60,0), (60,55). Давайте пересчитаем площади этих треугольников. Рассмотрим первый треугольник (верхний левый): Его катеты: По оси \(x\): от 0 до 55. Длина катета \(55 - 0 = 55\). По оси \(y\): от 5 до 60. Длина катета \(60 - 5 = 55\). Это не совсем так. Давайте построим прямые. Прямая \(y = x + 5\) пересекает ось \(y\) в точке (0,5) и ось \(x\) в точке (-5,0). Прямая \(y = x - 5\) пересекает ось \(y\) в точке (0,-5) и ось \(x\) в точке (5,0). Область, где встреча НЕ состоится, состоит из двух треугольников: * Треугольник 1: образован линиями \(y = x + 5\), \(x = 0\), \(y = 60\). Вершины: (0,5), (0,60), (55,60). Длина одного катета: \(60 - 5 = 55\). Длина другого катета: \(55 - 0 = 55\). Площадь Треугольника 1: \(S_1 = \frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2} = 1512.5\). * Треугольник 2: образован линиями \(y = x - 5\), \(y = 0\), \(x = 60\). Вершины: (5,0), (60,0), (60,55). Длина одного катета: \(60 - 5 = 55\). Длина другого катета: \(55 - 0 = 55\). Площадь Треугольника 2: \(S_2 = \frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2} = 1512.5\). Общая площадь неблагоприятных исходов: \(S_{\text{неблагоприятная}} = S_1 + S_2 = 1512.5 + 1512.5 = 3025\). Площадь благоприятных исходов: \(S_{\text{благоприятная}} = S_{\text{общая}} - S_{\text{неблагоприятная}} = 3600 - 3025 = 575\). 7. Вычислим вероятность. Вероятность \(P\) равна отношению площади благоприятных исходов к площади всех возможных исходов: \[P = \frac{S_{\text{благоприятная}}}{S_{\text{общая}}}\] \[P = \frac{575}{3600}\] Выполним деление: \(575 \div 3600 \approx 0.159722...\) 8. Округлим до сотых. Первая цифра после сотых - 9, поэтому округляем в большую сторону. \(P \approx 0.16\) Ответ: Вероятность того, что встреча состоится, составляет 0.16. Для школьника, чтобы переписать в тетрадь: Заголовок: Решение задачи на вероятность (геометрическая вероятность) 1. Определим общий временной интервал. Время встречи: с 13:00 до 14:00. Продолжительность интервала: \(1 \text{ час} = 60 \text{ минут}\). Пусть \(x\) - время прихода Оли, \(y\) - время прихода Маши. Оба \(x\) и \(y\) могут быть любым числом от 0 до 60 минут. Это можно представить как квадрат на координатной плоскости со стороной 60. Общая площадь всех возможных исходов: \(S_{\text{общая}} = 60 \times 60 = 3600\) (квадратных минут). 2. Определим условие встречи. Встреча состоится, если разница во времени прихода не превышает 5 минут. Математически это записывается как: \(|x - y| \le 5\) Это неравенство можно разбить на два: а) \(x - y \le 5 \implies y \ge x - 5\) б) \(x - y \ge -5 \implies y \le x + 5\) 3. Найдем площадь благоприятных исходов. Мы можем найти площадь, где встреча НЕ состоится, и вычесть её из общей площади. Область, где встреча НЕ состоится, состоит из двух треугольников в углах квадрата. * Первый треугольник (верхний левый): Образован линиями \(y = x + 5\), \(x = 0\), \(y = 60\). Его вершины: (0,5), (0,60), (55,60). Длины катетов: \(60 - 5 = 55\) и \(55 - 0 = 55\). Площадь первого треугольника: \(S_1 = \frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2} = 1512.5\). * Второй треугольник (нижний правый): Образован линиями \(y = x - 5\), \(y = 0\), \(x = 60\). Его вершины: (5,0), (60,0), (60,55). Длины катетов: \(60 - 5 = 55\) и \(55 - 0 = 55\). Площадь второго треугольника: \(S_2 = \frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2} = 1512.5\). Общая площадь неблагоприятных исходов: \(S_{\text{неблагоприятная}} = S_1 + S_2 = 1512.5 + 1512.5 = 3025\). Площадь благоприятных исходов (где встреча состоится): \(S_{\text{благоприятная}} = S_{\text{общая}} - S_{\text{неблагоприятная}} = 3600 - 3025 = 575\). 4. Вычислим вероятность. Вероятность \(P\) - это отношение площади благоприятных исходов к общей площади: \[P = \frac{S_{\text{благоприятная}}}{S_{\text{общая}}} = \frac{575}{3600}\] \[P \approx 0.159722...\] 5. Округлим результат до сотых. \(P \approx 0.16\) Ответ: 0.16