Решение предела через разложение Тейлора

Для решения данного предела воспользуемся разложением функций в ряд Тейлора (точнее, формулой Маклорена) в окрестности точки \(x = 0\). Основная формула, которую мы будем использовать: \[(1 + t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} t^2 + o(t^2)\] Запишем исходный предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{3\sqrt{1 + 2x^2 + x^3} - 4\sqrt{1 + \frac{x^2}{2} + 10x^4}}{4\sqrt{1 + 6x^2 + x^4} - \sqrt[3]{1 + 21x^2 + x^5}}\] Разложим каждый корень по отдельности до \(x^2\), так как это младшая степень переменной после константы: 1) Для первого корня в числителе: \[\sqrt{1 + 2x^2 + x^3} = (1 + (2x^2 + x^3))^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(2x^2 + x^3) + o(x^2) = 1 + x^2 + o(x^2)\] Тогда: \[3\sqrt{1 + 2x^2 + x^3} = 3(1 + x^2 + o(x^2)) = 3 + 3x^2 + o(x^2)\] 2) Для второго корня в числителе: \[\sqrt{1 + \frac{x^2}{2} + 10x^4} = (1 + (\frac{x^2}{2} + 10x^4))^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{2} + 10x^4) + o(x^2) = 1 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)\] Тогда: \[4\sqrt{1 + \frac{x^2}{2} + 10x^4} = 4(1 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)) = 4 + x^2 + o(x^2)\] 3) Для первого корня в знаменателе: \[\sqrt{1 + 6x^2 + x^4} = (1 + (6x^2 + x^4))^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(6x^2 + x^4) + o(x^2) = 1 + 3x^2 + o(x^2)\] Тогда: \[4\sqrt{1 + 6x^2 + x^4} = 4(1 + 3x^2 + o(x^2)) = 4 + 12x^2 + o(x^2)\] 4) Для второго корня в знаменателе: \[\sqrt[3]{1 + 21x^2 + x^5} = (1 + (21x^2 + x^5))^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(21x^2 + x^5) + o(x^2) = 1 + 7x^2 + o(x^2)\] Теперь подставим полученные разложения в предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{(3 + 3x^2 + o(x^2)) - (4 + x^2 + o(x^2))}{(4 + 12x^2 + o(x^2)) - (1 + 7x^2 + o(x^2))}\] Упростим числитель и знаменатель: Числитель: \(3 + 3x^2 - 4 - x^2 + o(x^2) = -1 + 2x^2 + o(x^2)\) Знаменатель: \(4 + 12x^2 - 1 - 7x^2 + o(x^2) = 3 + 5x^2 + o(x^2)\) Подставим упрощенные выражения: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + 2x^2 + o(x^2)}{3 + 5x^2 + o(x^2)}\] Так как \(x \to 0\), то слагаемые с \(x^2\) и \(o(x^2)\) стремятся к нулю. Подставляем \(x = 0\): \[L = \frac{-1 + 0}{3 + 0} = -\frac{1}{3}\] Ответ: \(-\frac{1}{3}\)