Решение предела через Тейлора: Подробное решение

Для решения данного предела воспользуемся методом замены бесконечно малых функций эквивалентными или разложением в ряд Тейлора (Маклорена) в окрестности точки \(x = 0\). Исходный предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin 5x} - e^{\sin x}}{\ln(1 + 2x)}\] При \(x \to 0\) мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), так как \(e^0 - e^0 = 0\) и \(\ln(1) = 0\). Воспользуемся следующими эквивалентными бесконечно малыми при \(t \to 0\): 1) \(e^t - 1 \sim t\) 2) \(\sin t \sim t\) 3) \(\ln(1 + t) \sim t\) Преобразуем числитель, вынеся \(e^{\sin x}\) за скобки: \[e^{\sin 5x} - e^{\sin x} = e^{\sin x} (e^{\sin 5x - \sin x} - 1)\] Теперь применим эквивалентности к выражению в скобках и к знаменателю: 1) Так как \((\sin 5x - \sin x) \to 0\) при \(x \to 0\), то: \[e^{\sin 5x - \sin x} - 1 \sim \sin 5x - \sin x\] 2) Используя эквивалентность для синуса: \[\sin 5x - \sin x \sim 5x - x = 4x\] 3) Для знаменателя: \[\ln(1 + 2x) \sim 2x\] Подставим полученные эквивалентности в предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} \cdot (4x)}{2x}\] Заметим, что при \(x \to 0\) множитель \(e^{\sin x} \to e^0 = 1\). Сократим дробь на \(x\): \[L = \lim_{x \to 0} \frac{1 \cdot 4x}{2x} = \frac{4}{2} = 2\] Ответ: \(2\)