Решение предела через Тейлора

Для решения данного предела воспользуемся методом замены бесконечно малых функций эквивалентными в окрестности точки \(x = 0\). Запишем исходный предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin 4x} - e^{\text{arctg } 3x}}{\ln(1 + 6x)}\] При \(x \to 0\) мы получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Для решения применим следующие эквивалентности: 1) \(e^t - 1 \sim t\) при \(t \to 0\) 2) \(\sin t \sim t\) при \(t \to 0\) 3) \(\text{arctg } t \sim t\) при \(t \to 0\) 4) \(\ln(1 + t) \sim t\) при \(t \to 0\) Преобразуем числитель. Для этого вычтем и прибавим единицу: \[e^{\sin 4x} - e^{\text{arctg } 3x} = (e^{\sin 4x} - 1) - (e^{\text{arctg } 3x} - 1)\] Теперь применим эквивалентности для каждой части выражения: 1) Для первой скобки в числителе: \[e^{\sin 4x} - 1 \sim \sin 4x \sim 4x\] 2) Для второй скобки в числителе: \[e^{\text{arctg } 3x} - 1 \sim \text{arctg } 3x \sim 3x\] 3) Для знаменателя: \[\ln(1 + 6x) \sim 6x\] Соберем все части вместе и подставим в предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{4x - 3x}{6x}\] Произведем вычитание в числителе: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{x}{6x}\] Сократим дробь на \(x\) (так как в пределе \(x \neq 0\)): \[L = \frac{1}{6}\] Ответ: \(\frac{1}{6}\)