Хорошо, давайте решим эти показательные уравнения графическим методом.
Для каждого уравнения мы построим графики двух функций, которые образуют это уравнение. Точки пересечения этих графиков дадут нам решения уравнения (абсциссы точек пересечения).
Вариант 1
а) \(2^x = x + 2\)
Чтобы решить это уравнение графически, нам нужно построить графики двух функций:
1. \(y = 2^x\) (показательная функция)
2. \(y = x + 2\) (линейная функция)
Построим таблицы значений для каждой функции:
Для \(y = 2^x\):
| \(x\) |
\(y = 2^x\) |
| -3 |
\(2^{-3} = 1/8 \approx 0.125\) |
| -2 |
\(2^{-2} = 1/4 = 0.25\) |
| -1 |
\(2^{-1} = 1/2 = 0.5\) |
| 0 |
\(2^0 = 1\) |
| 1 |
\(2^1 = 2\) |
| 2 |
\(2^2 = 4\) |
| 3 |
\(2^3 = 8\) |
Для \(y = x + 2\):
| \(x\) |
\(y = x + 2\) |
| -3 |
\(-3 + 2 = -1\) |
| -2 |
\(-2 + 2 = 0\) |
| -1 |
\(-1 + 2 = 1\) |
| 0 |
\(0 + 2 = 2\) |
| 1 |
\(1 + 2 = 3\) |
| 2 |
\(2 + 2 = 4\) |
| 3 |
\(3 + 2 = 5\) |
Теперь построим эти графики на одной координатной плоскости.
(Здесь должен быть график. Поскольку я не могу рисовать графики, я опишу результат и точки пересечения.)
При построении графиков вы увидите, что они пересекаются в двух точках.
Приблизительные абсциссы этих точек:
1. \(x_1 = -2\) (точно)
2. \(x_2 = 2\) (точно)
Проверим:
Для \(x = -2\): \(2^{-2} = 1/4\). \(-2 + 2 = 0\). \(1/4 \neq 0\). Значит, \(x = -2\) не является точным решением.
Давайте перепроверим значения.
При \(x = -1\): \(2^{-1} = 0.5\). \(-1 + 2 = 1\). \(0.5 \neq 1\).
При \(x = 0\): \(2^0 = 1\). \(0 + 2 = 2\). \(1 \neq 2\).
При \(x = 1\): \(2^1 = 2\). \(1 + 2 = 3\). \(2 \neq 3\).
При \(x = 2\): \(2^2 = 4\). \(2 + 2 = 4\). \(4 = 4\). Значит, \(x = 2\) - это одно из решений.
Давайте посмотрим на отрицательные значения.
При \(x = -2\): \(2^{-2} = 0.25\). \(-2 + 2 = 0\).
При \(x = -1\): \(2^{-1} = 0.5\). \(-1 + 2 = 1\).
График \(y = 2^x\) растет, а график \(y = x + 2\) тоже растет, но медленнее.
На самом деле, есть еще одна точка пересечения.
Если посмотреть внимательно, то при \(x = -1.9\), \(2^{-1.9} \approx 0.26\), а \(-1.9 + 2 = 0.1\).
При \(x = -1.8\), \(2^{-1.8} \approx 0.28\), а \(-1.8 + 2 = 0.2\).
При \(x = -1.7\), \(2^{-1.7} \approx 0.30\), а \(-1.7 + 2 = 0.3\).
Значит, \(x \approx -1.7\) является вторым решением.
Ответ: \(x_1 \approx -1.7\), \(x_2 = 2\).
б) \(3^x = 3x\)
Построим графики функций:
1. \(y = 3^x\) (показательная функция)
2. \(y = 3x\) (линейная функция)
Таблицы значений:
Для \(y = 3^x\):
| \(x\) |
\(y = 3^x\) |
| -2 |
\(3^{-2} = 1/9 \approx 0.11\) |
| -1 |
\(3^{-1} = 1/3 \approx 0.33\) |
| 0 |
\(3^0 = 1\) |
| 1 |
\(3^1 = 3\) |
| 2 |
\(3^2 = 9\) |
Для \(y = 3x\):
| \(x\) |
\(y = 3x\) |
| -2 |
\(3 \cdot (-2) = -6\) |
| -1 |
\(3 \cdot (-1) = -3\) |
| 0 |
\(3 \cdot 0 = 0\) |
| 1 |
\(3 \cdot 1 = 3\) |
| 2 |
\(3 \cdot 2 = 6\) |
(Здесь должен быть график.)
При построении графиков вы увидите, что они пересекаются в двух точках.
Приблизительные абсциссы этих точек:
1. \(x_1 = 1\) (точно)
2. \(x_2 \approx 0.3\)
Проверим:
Для \(x = 1\): \(3^1 = 3\). \(3 \cdot 1 = 3\). \(3 = 3\). Значит, \(x = 1\) - это одно из решений.
Для второго решения:
При \(x = 0.3\): \(3^{0.3} \approx 1.39\). \(3 \cdot 0.3 = 0.9\). \(1.39 \neq 0.9\).
При \(x = 0.4\): \(3^{0.4} \approx 1.55\). \(3 \cdot 0.4 = 1.2\).
При \(x = 0.5\): \(3^{0.5} \approx 1.73\). \(3 \cdot 0.5 = 1.5\).
При \(x = 0.6\): \(3^{0.6} \approx 1.93\). \(3 \cdot 0.6 = 1.8\).
При \(x = 0.7\): \(3^{0.7} \approx 2.16\). \(3 \cdot 0.7 = 2.1\).
Значит, \(x_2 \approx 0.7\) является вторым решением.
Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 \approx 0.7\).
в) \(2^x = x^2\)
Построим графики функций:
1. \(y = 2^x\) (показательная функция)
2. \(y = x^2\) (парабола)
Таблицы значений:
Для \(y = 2^x\): (уже была в пункте а)
| \(x\) |
\(y = 2^x\) |
| -3 |
\(0.125\) |
| -2 |
\(0.25\) |
| -1 |
\(0.5\) |
| 0 |
\(1\) |
| 1 |
\(2\) |
| 2 |
\(4\) |
| 3 |
\(8\) |
| 4 |
\(16\) |
Для \(y = x^2\):
| \(x\) |
\(y = x^2\) |
| -3 |
\((-3)^2 = 9\) |
| -2 |
\((-2)^2 = 4\) |
| -1 |
\((-1)^2 = 1\) |
| 0 |
\(0^2 = 0\) |
| 1 |
\(1^2 = 1\) |
| 2 |
\(2^2 = 4\) |
| 3 |
\(3^2 = 9\) |
| 4 |
\(4^2 = 16\) |
(Здесь должен быть график.)
При построении графиков вы увидите, что они пересекаются в трех точках.
Приблизительные абсциссы этих точек:
1. \(x_1 = -0.76\) (приблизительно)
2. \(x_2 = 2\) (точно)
3. \(x_3 = 4\) (точно)
Проверим:
Для \(x = 2\): \(2^2 = 4\). \(2^2 = 4\). \(4 = 4\). Значит, \(x = 2\) - решение.
Для \(x = 4\): \(2^4 = 16\). \(4^2 = 16\). \(16 = 16\). Значит, \(x = 4\) - решение.
Для третьего решения:
При \(x = -1\): \(2^{-1} = 0.5\). \((-1)^2 = 1\).
При \(x = 0\): \(2^0 = 1\). \(0^2 = 0\).
Значит, точка пересечения находится между -1 и 0.
При \(x = -0.5\): \(2^{-0.5} \approx 0.707\). \((-0.5)^2 = 0.25\).
При \(x = -0.7\): \(2^{-0.7} \approx 0.61\). \((-0.7)^2 = 0.49\).
При \(x = -0.8\): \(2^{-0.8} \approx 0.57\). \((-0.8)^2 = 0.64\).
Значит, \(x_1 \approx -0.76\) является третьим решением.
Ответ: \(x_1 \approx -0.76\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 4\).
г) \(5^x = 5/x\)
Построим графики функций:
1. \(y = 5^x\) (показательная функция)
2. \(y = 5/x\) (гипербола)
Таблицы значений:
Для \(y = 5^x\):
| \(x\) |
\(y = 5^x\) |
| -2 |
\(5^{-2} = 1/25 = 0.04\) |
| -1 |
\(5^{-1} = 1/5 = 0.2\) |
| 0 |
\(5^0 = 1\) |
| 1 |
\(5^1 = 5\) |
| 2 |
\(5^2 = 25\) |
Для \(y = 5/x\):
| \(x\) |
\(y = 5/x\) |
| -5 |
\(5/(-5) = -1\) |
| -1 |
\(5/(-1) = -5\) |
| 0.5 |
\(5/0.5 = 10\) |
| 1 |
\(5/1 = 5\) |
| 2 |
\(5/2 = 2.5\) |
| 5 |
\(5/5 = 1\) |
(Здесь должен быть график.)
При построении графиков вы увидите, что они пересекаются в одной точке.
Приблизительная абсцисса этой точки:
1. \(x_1 = 1\) (точно)
Проверим:
Для \(x = 1\): \(5^1 = 5\). \(5/1 = 5\). \(5 = 5\). Значит, \(x = 1\) - это решение.
Ответ: \(x = 1\).
д) \((1/4)^x = -4/x\)
Построим графики функций:
1. \(y = (1/4)^x\) (показательная функция, убывающая)
2. \(y = -4/x\) (гипербола)
Таблицы значений:
Для \(y = (1/4)^x\):
| \(x\) |
\(y = (1/4)^x\) |
| -2 |
\((1/4)^{-2} = 4^2 = 16\) |
| -1 |
\((1/4)^{-1} = 4\) |
| 0 |
\((1/4)^0 = 1\) |
| 1 |
\((1/4)^1 = 1/4 = 0.25\) |
| 2 |
\((1/4)^2 = 1/16 = 0.0625\) |
Для \(y = -4/x\):
| \(x\) |
\(y = -4/x\) |
| -4 |
\(-4/(-4) = 1\) |
| -2 |
\(-4/(-2) = 2\) |
| -1 |
\(-4/(-1) = 4\) |
| 1 |
\(-4/1 = -4\) |
| 2 |
\(-4/2 = -2\) |
| 4 |
\(-4/4 = -1\) |
(Здесь должен быть график.)
При построении графиков вы увидите, что они пересекаются в двух точках.
Приблизительные абсциссы этих точек:
1. \(x_1 = -1\) (точно)
2. \(x_2 = -2\) (точно)
Проверим:
Для \(x = -1\): \((1/4)^{-1} = 4\). \(-4/(-1) = 4\). \(4 = 4\). Значит, \(x = -1\) - решение.
Для \(x = -2\): \((1/4)^{-2} = 16\). \(-4/(-2) = 2\). \(16 \
