Решение задачи: Найдите угол ABC треугольника

Дано: Треугольник \(ABC\). Угол \(\angle C = 80^\circ\). Внешний угол при вершине \(B\) равен \(x\). Внешний угол при вершине \(A\) равен \(x + 64^\circ\). Найти: Внутренний угол \(\angle ABC\) (отмечен вопросительным знаком). Решение: 1. Вспомним свойство внешнего угла треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 2. Для внешнего угла при вершине \(A\), который равен \(x + 64^\circ\), не смежными внутренними углами являются \(\angle C\) и \(\angle ABC\). Запишем уравнение: \[ \angle CAD_{ext} = \angle C + \angle ABC \] \[ x + 64^\circ = 80^\circ + \angle ABC \] Отсюда выразим \(\angle ABC\): \[ \angle ABC = x + 64^\circ - 80^\circ \] \[ \angle ABC = x - 16^\circ \] 3. Теперь рассмотрим вершину \(B\). Внутренний угол \(\angle ABC\) и внешний угол \(x\) являются смежными. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\): \[ \angle ABC + x = 180^\circ \] 4. Подставим выражение для \(\angle ABC\), полученное в пункте 2, в это уравнение: \[ (x - 16^\circ) + x = 180^\circ \] \[ 2x - 16^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ + 16^\circ \] \[ 2x = 196^\circ \] \[ x = 98^\circ \] 5. Теперь найдем искомый угол \(\angle ABC\): \[ \angle ABC = x - 16^\circ \] \[ \angle ABC = 98^\circ - 16^\circ \] \[ \angle ABC = 82^\circ \] Ответ: \(82^\circ\).