Решение предела (cos x)^(2/x^2) через правило Лопиталя

Хорошо, давайте решим этот предел, используя правило Лопиталя. Задача: Найти предел: \[ \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{2}{x^2}} \] Решение: Шаг 1: Определим вид неопределенности. При \(x \to 0\): Основание \(\cos x \to \cos 0 = 1\). Показатель степени \(\frac{2}{x^2} \to \frac{2}{0} = +\infty\). Таким образом, мы имеем неопределенность вида \(1^{\infty}\). Шаг 2: Преобразуем выражение для применения правила Лопиталя. Для неопределенности вида \(1^{\infty}\) мы используем следующее преобразование: Если \(L = \lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}\), то \(\ln L = \lim_{x \to a} [g(x) \ln f(x)]\). Тогда \(L = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \ln f(x)]}\). В нашем случае \(f(x) = \cos x\) и \(g(x) = \frac{2}{x^2}\). Пусть \(L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{2}{x^2}}\). Тогда: \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x^2} \ln(\cos x) \right) \] \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln(\cos x)}{x^2} \] Шаг 3: Определим вид неопределенности для \(\ln L\). При \(x \to 0\): Числитель \(2 \ln(\cos x) \to 2 \ln(\cos 0) = 2 \ln(1) = 2 \cdot 0 = 0\). Знаменатель \(x^2 \to 0^2 = 0\). Мы получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), к которой можно применить правило Лопиталя. Шаг 4: Применим правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\), если последний предел существует. Найдем производные числителя и знаменателя: Производная числителя: \((2 \ln(\cos x))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -2 \frac{\sin x}{\cos x} = -2 \operatorname{tg} x\) Производная знаменателя: \((x^2)' = 2x\) Теперь применим правило Лопиталя: \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \operatorname{tg} x}{2x} \] \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{tg} x}{x} \] Шаг 5: Вычислим полученный предел. Мы знаем, что \(\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1\) (это первый замечательный предел или его следствие). Поэтому: \[ \ln L = -1 \] Шаг 6: Найдем значение исходного предела \(L\). Мы получили \(\ln L = -1\). Чтобы найти \(L\), нужно возвести \(e\) в степень \(-1\): \[ L = e^{-1} \] \[ L = \frac{1}{e} \] Окончательный ответ: \[ \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{2}{x^2}} = \frac{1}{e} \]