Решение: Прикладная математика, Вариант 4

Вариант 4 № 1 Найдите разность матриц A - B, если \[ A = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -4 \\ 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \] Решение: Разность матриц находится путем вычитания соответствующих элементов: \[ A - B = \begin{pmatrix} -3 - 2 & 3 - (-1) & -1 - (-4) \\ 2 - 3 & 0 - 0 & 4 - 3 \\ 1 - 2 & 1 - 1 & 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ \begin{pmatrix} -5 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] № 2 Найдите линейную комбинацию матриц 2A - 4B, если \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 5 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Решение: 1) Найдем \( 2A \): \[ 2A = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot (-5) & 2 \cdot 7 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 2 \\ 4 & -10 & 14 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \] 2) Найдем \( 4B \): \[ 4B = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-2) & 4 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 5 & 4 \cdot 4 & 4 \cdot 5 \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -8 & -4 \\ 20 & 16 & 20 \\ 8 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] 3) Вычислим \( 2A - 4B \): \[ 2A - 4B = \begin{pmatrix} 2 - 4 & 6 - (-8) & 2 - (-4) \\ 4 - 20 & -10 - 16 & 14 - 20 \\ 0 - 8 & 2 - 4 & 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 14 & 6 \\ -16 & -26 & -6 \\ -8 & -2 & 6 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ \begin{pmatrix} -2 & 14 & 6 \\ -16 & -26 & -6 \\ -8 & -2 & 6 \end{pmatrix} \] № 3 Найдите произведение матриц A и B, если \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \] Решение: Произведение матриц \( C = A \cdot B \) вычисляется по правилу «строка на столбец». Размерность результата будет \( 2 \times 2 \). \[ c_{11} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0 + 3 - 2 = 1 \] \[ c_{12} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 6 + 9 + 1 = 16 \] \[ c_{21} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 0 + 4 - 4 = 0 \] \[ c_{22} = 0 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0 + 12 + 2 = 14 \] Запишем итоговую матрицу: \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 0 & 14 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 0 & 14 \end{pmatrix} \]