Решение производной функции y = (√x + x⁵)/∛x

Задание: Найти производную функции. \[ y = \left( \frac{\sqrt{x} + x^5}{\sqrt[3]{x}} \right)' \] Решение: Для начала упростим выражение под знаком производной, почленно разделив числитель на знаменатель. Представим корни в виде степеней: \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) и \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \). \[ \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^5}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^5}{x^{\frac{1}{3}}} \] При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 1) \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \) 2) \( 5 - \frac{1}{3} = \frac{15-1}{3} = \frac{14}{3} \) Таким образом, функция принимает вид: \[ y = x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{14}{3}} \] Теперь найдем производную, используя правило \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \): \[ y' = \left( x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{14}{3}} \right)' = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} + \frac{14}{3}x^{\frac{14}{3}-1} \] Вычислим показатели: 1) \( \frac{1}{6} - 1 = -\frac{5}{6} \) 2) \( \frac{14}{3} - 1 = \frac{11}{3} \) Получаем: \[ y' = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} + \frac{14}{3}x^{\frac{11}{3}} \] Запишем ответ в виде корней: \[ y' = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}} + \frac{14\sqrt[3]{x^{11}}}{3} \] Ответ: \( y' = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}} + \frac{14x^3\sqrt[3]{x^2}}{3} \)