Решение уравнения xy=|y| через совокупность

Для того чтобы решить уравнение \( xy = |y| \) через совокупность систем, воспользуемся определением модуля. Запишем решение в виде совокупности трех систем: \[ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} y > 0 \\ xy = y \end{cases} \\ \begin{cases} y < 0 \\ xy = -y \end{cases} \\ \begin{cases} y = 0 \\ x \cdot 0 = |0| \end{cases} \end{gathered} \right. \] Решим каждую систему по отдельности: 1) В первой системе, так как \( y > 0 \), разделим обе части уравнения на \( y \): \[ \begin{cases} y > 0 \\ x = 1 \end{cases} \] Это луч на прямой \( x = 1 \), лежащий выше оси \( Ox \). 2) Во второй системе, так как \( y < 0 \), разделим обе части уравнения на \( y \): \[ \begin{cases} y < 0 \\ x = -1 \end{cases} \] Это луч на прямой \( x = -1 \), лежащий ниже оси \( Ox \). 3) В третьей системе уравнение \( 0 = 0 \) верно для любого \( x \): \[ \begin{cases} y = 0 \\ x \in \mathbb{R} \end{cases} \] Это вся прямая \( y = 0 \) (ось \( Ox \)). Объединяя результаты, получаем итоговую совокупность решений: \[ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x = 1 \\ y > 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x = -1 \\ y < 0 \end{cases} \\ y = 0 \end{gathered} \right. \] Ответ: Решением уравнения являются точки, принадлежащие прямой \( y = 0 \), а также лучи \( x = 1 \) при \( y > 0 \) и \( x = -1 \) при \( y < 0 \).