Решение: Как раскрыть модуль в уравнении |x| = y?

Для того чтобы не путаться в раскрытии модуля, важно помнить основное определение: модуль — это расстояние, которое всегда неотрицательно. Выбор способа раскрытия зависит от того, какая переменная находится под знаком модуля. Рассмотрим два ваших варианта: 1. Когда мы пишем \( x = \pm y \): Это происходит, когда мы решаем уравнение вида \( |x| = y \). По определению модуля: \[ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] Следовательно, уравнение \( |x| = y \) распадается на две системы: \[ \begin{cases} x \ge 0 \\ x = y \end{cases} \text{ или } \begin{cases} x < 0 \\ -x = y \end{cases} \] Если мы объединим эти случаи (и при условии, что \( y \ge 0 \)), мы получим краткую запись: \( x = y \) или \( x = -y \), что и записывается как \( x = \pm y \). Здесь мы "снимаем" модуль с \( x \). 2. Когда мы пишем \( \pm x = y \): Математически записи \( x = \pm y \) и \( \pm x = y \) абсолютно идентичны. Если \( -x = y \), то, умножив обе части на \( -1 \), мы получим \( x = -y \). Поэтому в школьной тетради чаще всего используют запись \( x = \pm y \), так как она удобнее для нахождения значения \( x \). Как понять, что именно раскрывать: Правило 1: Раскрывается всегда то выражение, которое стоит внутри вертикальных палок \( | \dots | \). Если у вас \( |y| = x \), то вы рассматриваете случаи для \( y \) (\( y = x \) и \( y = -x \)). Если у вас \( |x| = y \), то вы рассматриваете случаи для \( x \) (\( x = y \) и \( x = -y \)). Правило 2: Условие существования решения. Уравнение вида \( |f(x)| = g(x) \) имеет решения только тогда, когда правая часть не отрицательна: \( g(x) \ge 0 \). Пример для закрепления: Если дано \( |x-2| = 5 \), мы раскрываем то, что под модулем: \[ x-2 = 5 \implies x = 7 \] \[ x-2 = -5 \implies x = -3 \] Итог: Разницы между \( \pm x = y \) и \( x = \pm y \) нет, это одно и то же. Но принято переносить плюс-минус к той части уравнения, где модуля изначально не было, чтобы сразу получить готовый ответ для искомой переменной.