Решение задач на упрощение выражений со степенями

Ниже представлено решение всех заданий с фотографии, оформленное для записи в тетрадь. № 193. Упростите выражение и найдите его значение: \[ (c^5 c^{-8})^{-1} \text{ при } c = \frac{1}{3} \] Решение: \[ (c^5 \cdot c^{-8})^{-1} = (c^{5-8})^{-1} = (c^{-3})^{-1} = c^{-3 \cdot (-1)} = c^3 \] Подставим \( c = \frac{1}{3} \): \[ (\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27} \] Ответ: \( \frac{1}{27} \). № 194. Упростите выражение и найдите его значение: \[ a^7 (a^{-5})^2 \text{ при } a = \frac{1}{5} \] Решение: \[ a^7 \cdot a^{-5 \cdot 2} = a^7 \cdot a^{-10} = a^{7-10} = a^{-3} = \frac{1}{a^3} \] Подставим \( a = \frac{1}{5} \): \[ \frac{1}{(\frac{1}{5})^3} = \frac{1}{\frac{1}{125}} = 125 \] Ответ: 125. № 195. Упростите выражение и найдите его значение: \[ \frac{1}{x^{-6}} : x^3 \text{ при } x = 0,1 \] Решение: \[ \frac{1}{x^{-6}} = x^6 \] \[ x^6 : x^3 = x^{6-3} = x^3 \] Подставим \( x = 0,1 \): \[ (0,1)^3 = 0,001 \] Ответ: 0,001. № 196. Упростите выражение и найдите его значение: \[ a^{-3} \cdot \frac{1}{a^{-5}} \text{ при } a = 0,1 \] Решение: \[ a^{-3} \cdot a^5 = a^{-3+5} = a^2 \] Подставим \( a = 0,1 \): \[ (0,1)^2 = 0,01 \] Ответ: 0,01. № 197. Упростите выражение и найдите его значение: \[ \frac{a^{-9}}{(a^2)^{-3}} \text{ при } a = \frac{1}{2} \] Решение: \[ \frac{a^{-9}}{a^{-6}} = a^{-9 - (-6)} = a^{-9+6} = a^{-3} = \frac{1}{a^3} \] Подставим \( a = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \] Ответ: 8. № 198. Упростите выражение и найдите его значение: \[ (m^{-6})^{-2} \cdot m^{-14} \text{ при } m = \frac{1}{4} \] Решение: \[ m^{12} \cdot m^{-14} = m^{12-14} = m^{-2} = \frac{1}{m^2} \] Подставим \( m = \frac{1}{4} \): \[ \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16 \] Ответ: 16. № 203. Найдите значение выражения: \[ (10^8)^2 \cdot 100^{-6} = 10^{16} \cdot (10^2)^{-6} = 10^{16} \cdot 10^{-12} = 10^4 = 10000 \] Ответ: 10000. № 204. Найдите значение выражения: \[ (10^{-10} \cdot 100^6)^{-1} = (10^{-10} \cdot (10^2)^6)^{-1} = (10^{-10} \cdot 10^{12})^{-1} = (10^2)^{-1} = 10^{-2} = 0,01 \] Ответ: 0,01. № 205. Найдите значение выражения: \[ \frac{6^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-4}} = \frac{(2 \cdot 3)^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-4}} = \frac{2^{-4} \cdot 3^{-4}}{2^{-6} \cdot 3^{-4}} = \frac{2^{-4}}{2^{-6}} = 2^{-4 - (-6)} = 2^2 = 4 \] Ответ: 4. № 206. Найдите значение выражения: \[ \frac{3^{-2} \cdot 5^{-3}}{15^{-3}} = \frac{3^{-2} \cdot 5^{-3}}{(3 \cdot 5)^{-3}} = \frac{3^{-2} \cdot 5^{-3}}{3^{-3} \cdot 5^{-3}} = \frac{3^{-2}}{3^{-3}} = 3^{-2 - (-3)} = 3^1 = 3 \] Ответ: 3. № 208. Выполните действие: \[ (1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^2) = (1,6 \cdot 4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^2) = 6,4 \cdot 10^{-3} = 0,0064 \] Ответ: 0,0064. № 210. Выполните действие: \[ \frac{6,4 \cdot 10^{12}}{8 \cdot 10^{14}} = \frac{6,4}{8} \cdot \frac{10^{12}}{10^{14}} = 0,8 \cdot 10^{-2} = 0,008 \] Ответ: 0,008.