Решение неравенств на координатной плоскости с чертежами

Задача 451. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

а) \(x \ge 3\);

Решение:

Неравенство \(x \ge 3\) означает, что координата \(x\) любой точки должна быть больше или равна 3. Это вертикальная прямая \(x = 3\) и вся область справа от неё.

Построение:

1. Начертим координатную плоскость с осями \(x\) и \(y\).
2. Найдем на оси \(x\) точку с координатой 3.
3. Проведем через эту точку вертикальную прямую. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), прямая будет сплошной.
4. Заштрихуем область справа от этой прямой, включая саму прямую.

Чертеж:

б) \(y < -1\);

Решение:

Неравенство \(y < -1\) означает, что координата \(y\) любой точки должна быть строго меньше -1. Это горизонтальная прямая \(y = -1\) и вся область ниже неё.

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Найдем на оси \(y\) точку с координатой -1.
3. Проведем через эту точку горизонтальную прямую. Так как неравенство строгое (\(<\)), прямая будет пунктирной (прерывистой).
4. Заштрихуем область ниже этой прямой.

Чертеж:

в) \(1 < x < 4\);

Решение:

Двойное неравенство \(1 < x < 4\) означает, что координата \(x\) любой точки должна быть строго больше 1, но строго меньше 4. Это область между двумя вертикальными прямыми \(x = 1\) и \(x = 4\).

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Найдем на оси \(x\) точки с координатами 1 и 4.
3. Проведем через точку \(x = 1\) вертикальную пунктирную прямую (так как неравенство строгое).
4. Проведем через точку \(x = 4\) вертикальную пунктирную прямую (так как неравенство строгое).
5. Заштрихуем область между этими двумя прямыми.

Чертеж:

г) \(-3 \le y \le 3\).

Решение:

Двойное неравенство \(-3 \le y \le 3\) означает, что координата \(y\) любой точки должна быть больше или равна -3, но меньше или равна 3. Это область между двумя горизонтальными прямыми \(y = -3\) и \(y = 3\).

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Найдем на оси \(y\) точки с координатами -3 и 3.
3. Проведем через точку \(y = -3\) горизонтальную сплошную прямую (так как неравенство нестрогое).
4. Проведем через точку \(y = 3\) горизонтальную сплошную прямую (так как неравенство нестрогое).
5. Заштрихуем область между этими двумя прямыми, включая сами прямые.

Чертеж:

Задача 452. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) \(y \le x^2 - 4\);

Решение:

Сначала рассмотрим уравнение \(y = x^2 - 4\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \((0, -4)\). Неравенство \(y \le x^2 - 4\) означает, что мы ищем точки, у которых координата \(y\) меньше или равна значению функции \(x^2 - 4\). Это область под параболой, включая саму параболу.

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Построим параболу \(y = x^2 - 4\).
   • Вершина: \((0, -4)\).
   • Точки пересечения с осью \(x\): \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Точки \((-2, 0)\) и \((2, 0)\).
   • Дополнительные точки: например, при \(x = 1\), \(y = 1^2 - 4 = -3\). Точка \((1, -3)\). При \(x = -1\), \(y = (-1)^2 - 4 = -3\). Точка \((-1, -3)\).
3. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), парабола будет сплошной линией.
4. Заштрихуем область под параболой.

Чертеж:

б) \(y \ge (x - 2)^2 - 1\);

Решение:

Сначала рассмотрим уравнение \(y = (x - 2)^2 - 1\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \((2, -1)\). Неравенство \(y \ge (x - 2)^2 - 1\) означает, что мы ищем точки, у которых координата \(y\) больше или равна значению функции \((x - 2)^2 - 1\). Это область над параболой, включая саму параболу.

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Построим параболу \(y = (x - 2)^2 - 1\).
   • Вершина: \((2, -1)\).
   • Точки пересечения с осью \(x\): \((x - 2)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1 \Rightarrow x - 2 = \pm 1\).
     • \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3\). Точка \((3, 0)\).
     • \(x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1\). Точка \((1, 0)\).
   • Точка пересечения с осью \(y\): при \(x = 0\), \(y = (0 - 2)^2 - 1 = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\). Точка \((0, 3)\).
3. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), парабола будет сплошной линией.
4. Заштрихуем область над параболой.

Чертеж:

в) \(x^2 + y^2 \le 25\);

Решение:

Сначала рассмотрим уравнение \(x^2 + y^2 = 25\). Это уравнение окружности с центром в начале координат \((0, 0)\) и радиусом \(R = \sqrt{25} = 5\). Неравенство \(x^2 + y^2 \le 25\) означает, что мы ищем точки, расстояние от которых до начала координат меньше или равно 5. Это круг, включая его границу (окружность).

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Построим окружность с центром в точке \((0, 0)\) и радиусом 5.
3. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), окружность будет сплошной линией.
4. Заштрихуем область внутри окружности.

Чертеж:

г) \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\).

Решение:

Сначала рассмотрим уравнение \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\). Это уравнение окружности с центром в точке \((1, 2)\) и радиусом \(R = \sqrt{4} = 2\). Неравенство \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\) означает, что мы ищем точки, расстояние от которых до центра \((1, 2)\) меньше или равно 2. Это круг, включая его границу (окружность).

Построение:

1. Начертим координатную плоскость.
2. Найдем центр окружности в точке \((1, 2)\).
3. Построим окружность с центром в точке \((1, 2)\) и радиусом 2.
4. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), окружность будет сплошной линией.
5. Заштрихуем область внутри окружности.

Чертеж: