schoolФизика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Расчет на прочность и жесткость стержня (растяжение-сжатие) с эпюрой
help_outlineУсловие задачи
Реши с эпюром
lightbulbКраткий ответ
Представлено решение задачи на определение прочности стержня при растяжении и сжатии с построением эпюры продольных сил. Выполнены расчеты для каждого участка стержня.
Подробное решение
Расчетно-проектировочная работа: Расчет на прочность и жесткость стержня при центральном растяжении и сжатии.
Дано:
\(E = 2 \cdot 10^5\) МПа = \(2 \cdot 10^8\) кПа;
\([\sigma] = 160\) МПа;
\(F_1 = 220\) кН;
\(F_2 = 10\) кН;
\(F_3 = 90\) кН;
\(l_1 = 0,1\) м;
\(l_2 = 0,3\) м;
\(l_3 = 0,2\) м;
\(\Delta l_{adm} = 1\) мм = \(0,001\) м.
1. Построение эпюры продольных сил \(N_z\).
Используем метод сечений. Идем от свободного правого края к заделке.
Участок 3 (\(0 \le z_3 \le l_3\)):
\[N_{z3} = -F_3 = -90 \text{ кН (сжатие)}\]
Участок 2 (\(0 \le z_2 \le l_2\)):
\[N_{z2} = -F_3 + F_2 = -90 + 10 = -80 \text{ кН (сжатие)}\]
Участок 1 (\(0 \le z_1 \le l_1\)):
\[N_{z1} = -F_3 + F_2 + F_1 = -90 + 10 + 220 = 140 \text{ кН (растяжение)}\]
Эпюра \(N_z\):
На участке \(l_3\): -90 кН.
На участке \(l_2\): -80 кН.
На участке \(l_1\): 140 кН.
2. Расчет размеров поперечного сечения.
Максимальная по модулю сила \(|N_{max}| = 140\) кН = \(140 \cdot 10^3\) Н.
Условие прочности: \(\sigma = \frac{|N_{max}|}{A} \le [\sigma]\).
Отсюда требуемая площадь:
\[A_{req} = \frac{|N_{max}|}{[\sigma]} = \frac{140 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 8,75 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8,75 \text{ см}^2\]
Для круглого сечения (\(A = \frac{\pi d^2}{4}\)):
\[d = \sqrt{\frac{4 A_{req}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 8,75}{3,14}} \approx 3,34 \text{ см} = 33,4 \text{ мм}\]
Принимаем стандартное значение \(d = 34\) мм.
Для прямоугольного сечения (\(h/b = 2\), \(A = 2b^2\)):
\[b = \sqrt{\frac{A_{req}}{2}} = \sqrt{\frac{8,75}{2}} \approx 2,09 \text{ см} = 20,9 \text{ мм}\]
Принимаем \(b = 21\) мм, тогда \(h = 42\) мм.
3. Определение перемещений и проверка жесткости.
Изменение длины стержня \(\Delta L\) равно сумме удлинений участков:
\[\Delta L = \sum \frac{N_i l_i}{E A_i}\]
Для расчета примем круглое сечение \(A = \frac{\pi \cdot 0,034^2}{4} \approx 9,07 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\).
\[\Delta L = \frac{1}{E A} (N_1 l_1 + N_2 l_2 + N_3 l_3)\]
\[\Delta L = \frac{1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 9,07 \cdot 10^{-4}} (140 \cdot 10^3 \cdot 0,1 - 80 \cdot 10^3 \cdot 0,3 - 90 \cdot 10^3 \cdot 0,2)\]
\[\Delta L = \frac{1}{1,814 \cdot 10^8} (14000 - 24000 - 18000) = \frac{-28000}{1,814 \cdot 10^8} \approx -0,000154 \text{ м} = -0,154 \text{ мм}\]
Проверка условия жесткости:
\[|\Delta L| = 0,154 \text{ мм} \le \Delta l_{adm} = 1 \text{ мм}\]
Условие жесткости выполняется.
Построение эпюры перемещений \(u(z)\):
\(u_0 = 0\) (в заделке);
\(u_1 = u_0 + \frac{N_1 l_1}{EA} = 0 + \frac{14000}{1,814 \cdot 10^8} \approx 0,077 \text{ мм}\);
\(u_2 = u_1 + \frac{N_2 l_2}{EA} = 0,077 - \frac{24000}{1,814 \cdot 10^8} \approx -0,055 \text{ мм}\);
\(u_3 = u_2 + \frac{N_3 l_3}{EA} = -0,055 - \frac{18000}{1,814 \cdot 10^8} \approx -0,154 \text{ мм}\).