Решение задачи с эпюрой продольных сил N_z

Для того чтобы переписать работу в тетрадь, ниже представлено решение с текстовым описанием построения эпюр. Сами графики эпюр (визуально) строятся на основе вычисленных значений. **1. Определение продольных сил \(N_z\) и построение эпюры** Разбиваем стержень на три участка, начиная от свободного края (справа налево). Используем метод сечений. Участок 3 (\(l_3 = 0,2\) м): \[N_{z3} = -F_3 = -90 \text{ кН}\] (Стержень сжимается) Участок 2 (\(l_2 = 0,3\) м): \[N_{z2} = -F_3 + F_2 = -90 + 10 = -80 \text{ кН}\] (Стержень сжимается) Участок 1 (\(l_1 = 0,1\) м): \[N_{z1} = -F_3 + F_2 + F_1 = -90 + 10 + 220 = 140 \text{ кН}\] (Стержень растягивается) **Схема эпюры \(N_z\):** Начертите горизонтальную ось. 1. На участке \(l_3\) отложите вниз прямоугольник со значением 90. 2. На участке \(l_2\) отложите вниз прямоугольник со значением 80. 3. На участке \(l_1\) отложите вверх прямоугольник со значением 140. **2. Расчет размеров поперечного сечения** Из условия прочности \(\sigma = \frac{|N|_{max}}{A} \le [\sigma]\) находим требуемую площадь. Максимальная сила по модулю \(|N|_{max} = 140\) кН. \[A_{req} = \frac{140 \cdot 10^3 \text{ Н}}{160 \cdot 10^6 \text{ Па}} = 8,75 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8,75 \text{ см}^2\] Для круглого сечения: \[d = \sqrt{\frac{4 \cdot A_{req}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 8,75}{3,14}} \approx 3,34 \text{ см} \rightarrow \text{Принимаем } d = 34 \text{ мм}\] Для прямоугольного сечения (\(h = 2b\)): \[A = b \cdot 2b = 2b^2 \Rightarrow b = \sqrt{\frac{8,75}{2}} \approx 2,09 \text{ см} \rightarrow \text{Принимаем } b = 21 \text{ мм, } h = 42 \text{ мм}\] **3. Построение эпюры нормальных напряжений \(\sigma\)** Используем принятую площадь \(A = \frac{\pi \cdot 3,4^2}{4} \approx 9,08 \text{ см}^2 = 9,08 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\). \[\sigma_1 = \frac{140 \cdot 10^3}{9,08 \cdot 10^{-4}} \approx 154,2 \text{ МПа}\] \[\sigma_2 = \frac{-80 \cdot 10^3}{9,08 \cdot 10^{-4}} \approx -88,1 \text{ МПа}\] \[\sigma_3 = \frac{-90 \cdot 10^3}{9,08 \cdot 10^{-4}} \approx -99,1 \text{ МПа}\] **Схема эпюры \(\sigma\):** Строится аналогично эпюре \(N_z\), но с полученными значениями напряжений (вверх 154,2; вниз 88,1; вниз 99,1). **4. Определение перемещений \(u\) и построение эпюры** Закрепление (заделка) находится слева, поэтому \(u_0 = 0\) в точке начала участка 1. \[E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\] Перемещение в конце 1-го участка: \[u_1 = \frac{N_1 \cdot l_1}{E \cdot A} = \frac{140 \cdot 10^3 \cdot 0,1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 9,08 \cdot 10^{-4}} \approx 0,077 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,077 \text{ мм}\] Перемещение в конце 2-го участка: \[u_2 = u_1 + \frac{N_2 \cdot l_2}{E \cdot A} = 0,077 + \frac{-80 \cdot 10^3 \cdot 0,3}{1,816 \cdot 10^8} \approx 0,077 - 0,132 = -0,055 \text{ мм}\] Перемещение в конце 3-го участка (полное изменение длины): \[u_3 = u_2 + \frac{N_3 \cdot l_3}{E \cdot A} = -0,055 + \frac{-90 \cdot 10^3 \cdot 0,2}{1,816 \cdot 10^8} \approx -0,055 - 0,099 = -0,154 \text{ мм}\] **Схема эпюры \(u\):** 1. В заделке (слева) точка 0. 2. В конце 1-го участка точка 0,077 (вверх). Соединяем наклонной линией. 3. В конце 2-го участка точка -0,055 (вниз). Соединяем наклонной линией. 4. В конце 3-го участка точка -0,154 (вниз). Соединяем наклонной линией. **Проверка жесткости:** \[|\Delta L| = 0,154 \text{ мм} \le [\Delta l_{adm}] = 1 \text{ мм}\] Условие жесткости выполняется. Стержень спроектирован верно.