Решение предела функции с неопределенностью 0/0

Хорошо, давайте решим эти задачи по вычислению пределов. Задание 1. Вычислите предел функций, раскрывая неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). а) \( \lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9} \) Решение: Сначала подставим \( x = -3 \) в функцию: Числитель: \( (-3)^2 + 3(-3) = 9 - 9 = 0 \) Знаменатель: \( (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0 \) Получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \( x^2 + 3x = x(x + 3) \) Знаменатель: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \) (это формула разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)) Теперь перепишем предел: \[ \lim_{x \to -3} \frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} \] Сократим общий множитель \( (x + 3) \), так как \( x \to -3 \), то \( x \neq -3 \), и \( x + 3 \neq 0 \). \[ \lim_{x \to -3} \frac{x}{x - 3} \] Теперь подставим \( x = -3 \): \[ \frac{-3}{-3 - 3} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \] Ответ: \( \frac{1}{2} \) б) \( \lim_{x \to 2} \frac{4x^2 - 7x - 2}{2x^2 - 11x + 2} \) Решение: Сначала подставим \( x = 2 \) в функцию: Числитель: \( 4(2)^2 - 7(2) - 2 = 4(4) - 14 - 2 = 16 - 14 - 2 = 0 \) Знаменатель: \( 2(2)^2 - 11(2) + 2 = 2(4) - 22 + 2 = 8 - 22 + 2 = -12 \) В данном случае неопределенности вида \( \frac{0}{0} \) нет. \[ \lim_{x \to 2} \frac{4x^2 - 7x - 2}{2x^2 - 11x + 2} = \frac{0}{-12} = 0 \] Ответ: \( 0 \) Задание 2. Вычислите предел функций, раскрывая неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), зависящую от иррациональности. а) \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{x + 1}}{x} \) Решение: Сначала подставим \( x = 0 \) в функцию: Числитель: \( 1 - \sqrt{0 + 1} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0 \) Знаменатель: \( 0 \) Получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на \( 1 + \sqrt{x + 1} \). \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{x + 1}}{x} \cdot \frac{1 + \sqrt{x + 1}}{1 + \sqrt{x + 1}} \] Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): Числитель: \( (1)^2 - (\sqrt{x + 1})^2 = 1 - (x + 1) = 1 - x - 1 = -x \) Теперь перепишем предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x(1 + \sqrt{x + 1})} \] Сократим \( x \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1 + \sqrt{x + 1}} \] Теперь подставим \( x = 0 \): \[ \frac{-1}{1 + \sqrt{0 + 1}} = \frac{-1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{-1}{1 + 1} = \frac{-1}{2} \] Ответ: \( -\frac{1}{2} \) б) \( \lim_{x \to 3} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 6}} \) Решение: Сначала подставим \( x = 3 \) в функцию: Числитель: \( 6 - 3 = 3 \) Знаменатель: \( 3 - \sqrt{3 + 6} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0 \) Получаем неопределенность вида \( \frac{3}{0} \), что означает, что предел равен бесконечности. Однако, если бы это была неопределенность \( \frac{0}{0} \), мы бы действовали иначе. Давайте перепроверим условие или предположим, что в задании опечатка и должно быть \( x \to 6 \) или что-то подобное, чтобы получить \( \frac{0}{0} \). Если же условие верное, то предел будет бесконечным. Рассмотрим односторонние пределы: Если \( x \to 3^+ \), то \( x > 3 \), \( x + 6 > 9 \), \( \sqrt{x + 6} > 3 \). Значит, \( 3 - \sqrt{x + 6} < 0 \). Числитель \( 6 - x \to 3 \). Тогда \( \lim_{x \to 3^+} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 6}} = \frac{3}{0^-} = -\infty \) Если \( x \to 3^- \), то \( x < 3 \), \( x + 6 < 9 \), \( \sqrt{x + 6} < 3 \). Значит, \( 3 - \sqrt{x + 6} > 0 \). Числитель \( 6 - x \to 3 \). Тогда \( \lim_{x \to 3^-} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 6}} = \frac{3}{0^+} = +\infty \) Так как односторонние пределы не равны, то предел не существует. Однако, если предположить, что в числителе должно быть \( x - 6 \) или \( x \to 6 \), чтобы получить \( \frac{0}{0} \), то решение было бы таким: Предположим, что предел был бы \( \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{3 - \sqrt{x + 6}} \). Тогда: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{3 - \sqrt{x + 6}} \cdot \frac{3 + \sqrt{x + 6}}{3 + \sqrt{x + 6}} \] Числитель: \( (x - 3)(3 + \sqrt{x + 6}) \) Знаменатель: \( 3^2 - (\sqrt{x + 6})^2 = 9 - (x + 6) = 9 - x - 6 = 3 - x = -(x - 3) \) \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(3 + \sqrt{x + 6})}{-(x - 3)} \] Сократим \( (x - 3) \): \[ \lim_{x \to 3} \frac{3 + \sqrt{x + 6}}{-1} \] Подставим \( x = 3 \): \[ \frac{3 + \sqrt{3 + 6}}{-1} = \frac{3 + \sqrt{9}}{-1} = \frac{3 + 3}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \] Но по условию у нас \( \lim_{x \to 3} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 6}} \). Давайте еще раз проверим. Если \( x \to 6 \), то числитель \( 6 - 6 = 0 \), знаменатель \( 3 - \sqrt{6 + 6} = 3 - \sqrt{12} \neq 0 \). Если \( x \to 3 \), то числитель \( 3 \), знаменатель \( 0 \). В данном случае, если нет опечатки, предел не существует. Но обычно в таких заданиях подразумевается неопределенность \( \frac{0}{0} \). Возможно, имелось в виду \( \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{3 - \sqrt{x + 6}} \) или \( \lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 3}} \). Если же задача именно такая, как написана, то предел не существует. Давайте предположим, что в числителе должно быть \( x - 6 \) и \( x \to 6 \). Тогда \( \lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 3}} \). Числитель: \( 6 - 6 = 0 \) Знаменатель: \( 3 - \sqrt{6 + 3} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0 \) Получаем \( \frac{0}{0} \). \[ \lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{3 - \sqrt{x + 3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{x + 3}}{3 + \sqrt{x + 3}} \] Числитель: \( (6 - x)(3 + \sqrt{x + 3}) \) Знаменатель: \( 3^2 - (\sqrt{x + 3})^2 = 9 - (x + 3) = 9 - x - 3 = 6 - x \) \[ \lim_{x \to 6} \frac{(6 - x)(3 + \sqrt{x + 3})}{6 - x} \] Сократим \( (6 - x) \): \[ \lim_{x \to 6} (3 + \sqrt{x + 3}) \] Подставим \( x = 6 \): \[ 3 + \sqrt{6 + 3} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6 \] Если же строго следовать условию, то предел не существует. Но в контексте заданий на раскрытие неопределенности, скорее всего, подразумевалась ситуация, приводящая к \( \frac{0}{0} \). Я приведу решение для случая, когда предел равен 6, предполагая опечатку в условии. Ответ (предполагая опечатку и \( x \to 6 \)): \( 6 \) Ответ (строго по условию): Предел не существует. Задание 3. Вычислите предел функций, раскрывая неопределенность вида \( \frac{\infty}{\infty} \). а) \( \lim_{x \to \infty} \frac{6 - x^5}{3x - 3} \) Решение: Сначала подставим \( x \to \infty \): Числитель: \( 6 - (\infty)^5 = -\infty \) Знаменатель: \( 3(\infty) - 3 = \infty \) Получаем неопределенность вида \( \frac{-\infty}{\infty} \). Для раскрытия этой неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} - \frac{x^5}{x}}{\frac{3x}{x} - \frac{3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} - x^4}{3 - \frac{3}{x}} \] При \( x \to \infty \), \( \frac{6}{x} \to 0 \) и \( \frac{3}{x} \to 0 \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{0 - x^4}{3 - 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^4}{3} \] Так как \( x^4 \to \infty \) при \( x \to \infty \), то \( -x^4 \to -\infty \). \[ \frac{-\infty}{3} = -\infty \] Ответ: \( -\infty \) б) \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - 2x^2 + 3}{3x^2 - 5} \) Решение: Сначала подставим \( x \to \infty \): Числитель: \( 3(\infty)^4 - 2(\infty)^2 + 3 = \infty \) Знаменатель: \( 3(\infty)^2 - 5 = \infty \) Получаем неопределенность вида \( \frac{\infty}{\infty} \). Для раскрытия этой неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x^2 \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^4}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2 + \frac{3}{x^2}}{3 - \frac{5}{x^2}} \] При \( x \to \infty \), \( \frac{3}{x^2} \to 0 \) и \( \frac{5}{x^2} \to 0 \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2 + 0}{3 - 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2}{3} \] Так как \( x^2 \to \infty \) при \( x \to \infty \), то \( 3x^2 - 2 \to \infty \). \[ \frac{\infty}{3} = \infty \] Ответ: \( \infty \) Задание 4. Вычислите предел: \( \lim_{n \to 3} (4n^3 + 6n^2 + 1) \) Решение: Это предел многочлена. Для вычисления предела многочлена достаточно просто подставить значение, к которому стремится переменная. Подставим \( n = 3 \): \[ 4(3)^3 + 6(3)^2 + 1 \] \[ 4(27) + 6(9) + 1 \] \[ 108 + 54 + 1 \] \[ 162 + 1 = 163 \] Ответ: \( 163 \)