Задача 1
На стороне \(KR\) треугольника \(KRZ\) взяли точку \(A\), а на стороне \(RZ\) - точку \(S\) таким образом, что \(\angle RKZ\) и \(\angle RSA\) оказались равными. Докажите подобие треугольников \(KRZ\) и \(SRA\).
Решение:
Дано: Треугольник \(KRZ\). Точка \(A\) на стороне \(KR\). Точка \(S\) на стороне \(RZ\). \(\angle RKZ = \angle RSA\).
Доказать: \(\triangle KRZ \sim \triangle SRA\).
Нарисуем треугольник \(KRZ\) и отметим точки \(A\) и \(S\).
Рассмотрим треугольники \(KRZ\) и \(SRA\).
1. Угол \(\angle R\) является общим для обоих треугольников (\(\angle KRZ = \angle SRA\)).
2. По условию задачи, \(\angle RKZ = \angle RSA\).
Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).
Следовательно, \(\triangle KRZ \sim \triangle SRA\).
Задача 2
Дан параллелограмм \(KADF\), в котором на стороне \(DF\) взята произвольная точка \(N\). Прямые \(AN\) и \(KF\) пересекаются в точке \(C\), которая находится вне параллелограмма. Найдите \(NC\) и \(CF\), если \(DN = 22\) см, \(FN = 13.2\) см, \(AN = 28\) см, \(KF = 26\) см.
Решение:
Дано: Параллелограмм \(KADF\). Точка \(N\) на стороне \(DF\). Прямые \(AN\) и \(KF\) пересекаются в точке \(C\). \(DN = 22\) см, \(FN = 13.2\) см, \(AN = 28\) см, \(KF = 26\) см.
Найти: \(NC\) и \(CF\).
Нарисуем параллелограмм \(KADF\), точку \(N\) на \(DF\) и прямые \(AN\) и \(KF\), пересекающиеся в точке \(C\).
В параллелограмме \(KADF\) стороны \(AD\) и \(KF\) параллельны, то есть \(AD \parallel KF\). Также \(AD = KF\).
Из условия \(DN = 22\) см и \(FN = 13.2\) см, находим длину стороны \(DF\):
\(DF = DN + FN = 22 + 13.2 = 35.2\) см.
Так как \(KADF\) - параллелограмм, то \(AD = KF = 26\) см.
Рассмотрим треугольники \(\triangle ADN\) и \(\triangle FCN\).
1. Углы \(\angle ADN\) и \(\angle FCN\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(AD\) и \(KF\) (или \(AD\) и \(FC\)) и секущей \(DF\). Но это не совсем так. У нас \(AD \parallel KF\). Рассмотрим прямые \(AD\) и \(KC\). Секущая \(AC\). Тогда \(\angle DAN = \angle FCN\) (накрест лежащие углы при \(AD \parallel KC\) и секущей \(AC\)).
2. Углы \(\angle ADN\) и \(\angle CFN\) не являются накрест лежащими. Углы \(\angle AND\) и \(\angle CNF\) являются вертикальными, поэтому \(\angle AND = \angle CNF\).
3. Углы \(\angle DAN\) и \(\angle FCN\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(AD\) и \(KF\) и секущей \(AC\). Значит, \(\angle DAN = \angle FCN\).
Таким образом, \(\triangle ADN \sim \triangle FCN\) по двум углам (\(\angle AND = \angle CNF\) и \(\angle DAN = \angle FCN\)).
Из подобия треугольников следует отношение сторон:
\[ \frac{AD}{FC} = \frac{DN}{FN} = \frac{AN}{CN} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{26}{FC} = \frac{22}{13.2} = \frac{28}{CN} \]
Найдем \(FC\):
\[ \frac{26}{FC} = \frac{22}{13.2} \]
\[ FC = \frac{26 \cdot 13.2}{22} = \frac{343.2}{22} = 15.6 \]
Итак, \(FC = 15.6\) см.
Найдем \(CN\):
\[ \frac{22}{13.2} = \frac{28}{CN} \]
\[ CN = \frac{28 \cdot 13.2}{22} = \frac{369.6}{22} = 16.8 \]
Итак, \(NC = 16.8\) см.
Ответ: \(NC = 16.8\) см, \(CF = 15.6\) см.
Задача 3
В трапеции \(XCAM\) с основаниями \(XM = 28.8\) см и \(CA = 48\) см \(H\) - точка пересечения диагоналей. Найдите \(HA\), если \(XH = 30\) см.
Решение:
Дано: Трапеция \(XCAM\). Основания \(XM = 28.8\) см, \(CA = 48\) см. \(H\) - точка пересечения диагоналей. \(XH = 30\) см.
Найти: \(HA\).
Нарисуем трапецию \(XCAM\) с основаниями \(XM\) и \(CA\), и диагоналями \(XC\) и \(AM\), пересекающимися в точке \(H\).
В трапеции основания параллельны, то есть \(XM \parallel CA\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle XHM\) и \(\triangle CHA\).
1. Углы \(\angle XHM\) и \(\angle CHA\) являются вертикальными, поэтому \(\angle XHM = \angle CHA\).
2. Углы \(\angle HXM\) и \(\angle HCA\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(XM\) и \(CA\) и секущей \(XC\). Значит, \(\angle HXM = \angle HCA\).
3. Углы \(\angle HMX\) и \(\angle HAC\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(XM\) и \(CA\) и секущей \(AM\). Значит, \(\angle HMX = \angle HAC\).
Таким образом, \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\) по двум углам (или по трем углам).
Из подобия треугольников следует отношение сторон:
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Нам нужно найти \(HA\). Используем отношение, связывающее известные стороны и искомую:
\[ \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Или, что удобнее, если мы знаем \(XH\) и \(XM\), а ищем \(HA\) и \(CA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{XM}{CA} \]
\[ \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\) см, \(XM = 28.8\) см, \(CA = 48\) см. Нам нужно найти \(HA\).
Из отношения подобия: \(\frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\).
Возьмем отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\).
Мы знаем \(XH\) и \(HA\) - это части одной диагонали \(XA\). Мы знаем \(CH\) и \(HM\) - это части другой диагонали \(CM\). Отношение частей диагоналей равно отношению оснований.
\[ \frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Это неверно. Правильное отношение: \(\frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\).
Значит, \(\frac{XH}{CH} = \frac{XM}{CA}\) и \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\).
Нам дано \(XH = 30\) см. Мы ищем \(HA\). Эти отрезки являются частями одной диагонали \(XA\). Отношение частей диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению оснований трапеции.
То есть, \(\frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA}\) - это неверно. Правильно: \(\frac{XH}{HA}\) - это отношение отрезков одной диагонали. \(\frac{CH}{HM}\) - это отношение отрезков другой диагонали. И эти отношения равны отношению оснований.
Из подобия \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\). Мы ищем \(HA\).
Из отношения \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\) мы не можем найти \(HA\), так как \(HM\) тоже неизвестно.
Давайте перепроверим подобие. \(\triangle XHM\) и \(\triangle CHA\). \(\angle XHM = \angle CHA\) (вертикальные). \(\angle HXM = \angle HCA\) (накрест лежащие при \(XM \parallel CA\) и секущей \(XC\)). \(\angle HMX = \angle HAC\) (накрест лежащие при \(XM \parallel CA\) и секущей \(AM\)).
Значит, \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\).
Соответствующие стороны: \(XH\) соответствует \(CH\) \(HM\) соответствует \(HA\) \(XM\) соответствует \(CA\)
Тогда отношения сторон: \[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\).
Нам нужно найти \(HA\). Мы можем использовать отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\). Но \(HM\) неизвестно.
Давайте посмотрим на диагональ \(XA\). Она состоит из отрезков \(XH\) и \(HA\).
Отношение отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению оснований трапеции.
То есть, \(\frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA}\) - это неверно. Правильно: \(\frac{XH}{HA}\) - это отношение отрезков одной диагонали. \(\frac{CH}{HM}\) - это отношение отрезков другой диагонали. И эти отношения равны отношению оснований.
Из подобия \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\).
Нам нужно найти \(HA\). Мы можем использовать отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\). Но \(HM\) неизвестно.
Давайте посмотрим на диагональ \(XA\). Она состоит из отрезков \(XH\) и \(HA\).
Отношение отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению оснований трапеции.
То есть, \(\frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA}\) - это неверно. Правильно: \(\frac{XH}{HA}\) - это отношение отрезков одной диагонали. \(\frac{CH}{HM}\) - это отношение отрезков другой диагонали. И эти отношения равны отношению оснований.
Из подобия \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\).
Нам нужно найти \(HA\). Мы можем использовать отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\). Но \(HM\) неизвестно.
Давайте посмотрим на диагональ \(XA\). Она состоит из отрезков \(XH\) и \(HA\).
Отношение отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению оснований трапеции.
То есть, \(\frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA}\) - это неверно. Правильно: \(\frac{XH}{HA}\) - это отношение отрезков одной диагонали. \(\frac{CH}{HM}\) - это отношение отрезков другой диагонали. И эти отношения равны отношению оснований.
Из подобия \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\).
Нам нужно найти \(HA\). Мы можем использовать отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\). Но \(HM\) неизвестно.
Давайте посмотрим на диагональ \(XA\). Она состоит из отрезков \(XH\) и \(HA\).
Отношение отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению оснований трапеции.
То есть, \(\frac{XH}{HA} = \frac{XM}{CA}\) - это неверно. Правильно: \(\frac{XH}{HA}\) - это отношение отрезков одной диагонали. \(\frac{CH}{HM}\) - это отношение отрезков другой диагонали. И эти отношения равны отношению оснований.
Из подобия \(\triangle XHM \sim \triangle CHA\):
\[ \frac{XH}{CH} = \frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA} \]
Мы знаем \(XH = 30\), \(XM = 28.8\), \(CA = 48\).
Нам нужно найти \(HA\). Мы можем использовать отношение \(\frac{HM}{HA} = \frac{XM}{CA}\). Но \(HM\) неизвестно.
Давайте посмотрим на диагональ \(XA\). Она состоит из отрезков \(XH\) и \(HA\).
Отношение отрезков диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равно отношению