Решение системы уравнений методом замены переменной

Решение системы уравнений методом замены переменной. Дана система: \[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ 3x^2 - 4xy + 3y^2 = 42 \end{cases} \] Заметим, что левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Для решения таких систем удобно использовать замену \( y = tx \). 1. Подставим \( y = tx \) в оба уравнения: \[ \begin{cases} x^2 - x(tx) + (tx)^2 = 19 \\ 3x^2 - 4x(tx) + 3(tx)^2 = 42 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x^2(1 - t + t^2) = 19 \\ x^2(3 - 4t + 3t^2) = 42 \end{cases} \] 2. Разделим второе уравнение на первое (при условии, что \( x \neq 0 \) и \( 1 - t + t^2 \neq 0 \)): \[ \frac{x^2(3 - 4t + 3t^2)}{x^2(1 - t + t^2)} = \frac{42}{19} \] \[ \frac{3t^2 - 4t + 3}{t^2 - t + 1} = \frac{42}{19} \] 3. Решим полученное уравнение относительно \( t \), используя свойство пропорции: \[ 19(3t^2 - 4t + 3) = 42(t^2 - t + 1) \] \[ 57t^2 - 76t + 57 = 42t^2 - 42t + 42 \] \[ 15t^2 - 34t + 15 = 0 \] 4. Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256 = 16^2 \] \[ t_1 = \frac{34 + 16}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \] \[ t_2 = \frac{34 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \] 5. Рассмотрим первый случай: \( t = \frac{5}{3} \). Тогда \( y = \frac{5}{3}x \). Подставим в первое уравнение системы: \[ x^2 - x \cdot \frac{5}{3}x + (\frac{5}{3}x)^2 = 19 \] \[ x^2 - \frac{5}{3}x^2 + \frac{25}{9}x^2 = 19 \] Приведем к общему знаменателю 9: \[ \frac{9x^2 - 15x^2 + 25x^2}{9} = 19 \] \[ \frac{19x^2}{9} = 19 \Rightarrow x^2 = 9 \] \[ x_1 = 3, \quad y_1 = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5 \] \[ x_2 = -3, \quad y_2 = \frac{5}{3} \cdot (-3) = -5 \] 6. Рассмотрим второй случай: \( t = \frac{3}{5} \). Тогда \( y = \frac{3}{5}x \). Подставим в первое уравнение системы: \[ x^2 - x \cdot \frac{3}{5}x + (\frac{3}{5}x)^2 = 19 \] \[ x^2 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{9}{25}x^2 = 19 \] Приведем к общему знаменателю 25: \[ \frac{25x^2 - 15x^2 + 9x^2}{25} = 19 \] \[ \frac{19x^2}{25} = 19 \Rightarrow x^2 = 25 \] \[ x_3 = 5, \quad y_3 = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3 \] \[ x_4 = -5, \quad y_4 = \frac{3}{5} \cdot (-5) = -3 \] Ответ: \( (3; 5), (-3; -5), (5; 3), (-5; -3) \).