Решение задачи №21: Система уравнений с таблицей

Задача №21 Пусть \( x \) — количество деталей, которые делает первый рабочий за один час (производительность первого рабочего). Тогда производительность второго рабочего будет \( x - 10 \) деталей в час. Составим таблицу для наглядности: Рабочий | Работа (дет.) | Производительность (дет./ч) | Время (ч) 1-й рабочий | 60 | \( x \) | \( \frac{60}{x} \) 2-й рабочий | 60 | \( x - 10 \) | \( \frac{60}{x - 10} \) По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Составим уравнение: \[ \frac{60}{x - 10} - \frac{60}{x} = 3 \] Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения расчетов: \[ \frac{20}{x - 10} - \frac{20}{x} = 1 \] Приведем дроби к общему знаменателю \( x(x - 10) \): \[ \frac{20x - 20(x - 10)}{x(x - 10)} = 1 \] \[ \frac{20x - 20x + 200}{x^2 - 10x} = 1 \] \[ \frac{200}{x^2 - 10x} = 1 \] Перейдем к квадратному уравнению: \[ x^2 - 10x = 200 \] \[ x^2 - 10x - 200 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \] \[ \sqrt{D} = 30 \] Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{10 + 30}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] \[ x_2 = \frac{10 - 30}{2} = -10 \] Так как производительность не может быть отрицательной, нам подходит только корень \( x = 20 \). Ответ: Первый рабочий делает 20 деталей в час.