Решение задачи №21 с системой и таблицей

Задача №21 Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (в км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (в км/ч). Пусть \( t_1 \) — время в пути первого автомобиля (в часах), а \( t_2 \) — время в пути второго автомобиля (в часах). Составим таблицу на основе условий задачи: Автомобиль | Расстояние \( S \) (км) | Скорость \( v \) (км/ч) | Время \( t \) (ч) 1-й автомобиль | 560 | \( v_1 \) | \( t_1 = \frac{560}{v_1} \) 2-й автомобиль | 560 | \( v_2 \) | \( t_2 = \frac{560}{v_2} \) Согласно условию, скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, а время в пути на 1 час меньше. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} v_1 = v_2 + 10 \\ t_2 - t_1 = 1 \end{cases} \] Подставим выражения для времени из таблицы во второе уравнение: \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_1} = 1 \] Теперь подставим \( v_1 = v_2 + 10 \) в это уравнение: \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \] \[ \frac{560v_2 + 5600 - 560v_2}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \] \[ \frac{5600}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \] \[ v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \] \[ \sqrt{D} = 150 \] Находим корни для \( v_2 \): \[ v_{2(1)} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \] \[ v_{2(2)} = \frac{-10 - 150}{2} = -80 \] (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Скорость второго автомобиля \( v_2 = 70 \) км/ч. Найдем скорость первого автомобиля: \[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \] Ответ: Скорость первого автомобиля составляет 80 км/ч.