Задача 1.
Какая из пар чисел является решением системы уравнений?
\[ \begin{cases} 8x - 8y = 24 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases} \]Варианты ответов: A) \((8, -11)\), B) \((-4, -12)\), C) \((-9, -8)\), D) \((-14, -19)\)
Решение:
Давайте проверим каждый вариант, подставляя значения \(x\) и \(y\) в оба уравнения системы.
Проверим вариант A) \((8, -11)\):
Подставим \(x = 8\) и \(y = -11\) в первое уравнение:
\(8 \cdot 8 - 8 \cdot (-11) = 64 + 88 = 152\)Так как \(152 \neq 24\), пара \((8, -11)\) не является решением.
Проверим вариант B) \((-4, -12)\):
Подставим \(x = -4\) и \(y = -12\) в первое уравнение:
\(8 \cdot (-4) - 8 \cdot (-12) = -32 + 96 = 64\)Так как \(64 \neq 24\), пара \((-4, -12)\) не является решением.
Проверим вариант C) \((-9, -8)\):
Подставим \(x = -9\) и \(y = -8\) в первое уравнение:
\(8 \cdot (-9) - 8 \cdot (-8) = -72 + 64 = -8\)Так как \(-8 \neq 24\), пара \((-9, -8)\) не является решением.
Проверим вариант D) \((-14, -19)\):
Подставим \(x = -14\) и \(y = -19\) в первое уравнение:
\(8 \cdot (-14) - 8 \cdot (-19) = -112 + 152 = 40\)Так как \(40 \neq 24\), пара \((-14, -19)\) не является решением.
Похоже, ни один из предложенных вариантов не является решением. Давайте решим систему, чтобы найти правильный ответ.
\[ \begin{cases} 8x - 8y = 24 \quad (1) \\ 4x - 3y = 1 \quad (2) \end{cases} \]Разделим первое уравнение на 8:
\(x - y = 3 \quad (3)\)Из уравнения (3) выразим \(x\):
\(x = y + 3\)Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение (2):
\(4(y + 3) - 3y = 1\) \(4y + 12 - 3y = 1\) \(y + 12 = 1\) \(y = 1 - 12\) \(y = -11\)Теперь найдем \(x\), подставив \(y = -11\) в уравнение \(x = y + 3\):
\(x = -11 + 3\) \(x = -8\)Таким образом, решением системы является пара \((-8, -11)\).
Среди предложенных вариантов есть вариант A) \((8, -11)\), но это не наш ответ. Возможно, в задании или вариантах ответа есть опечатка.
Ответ: Решением системы является пара \((-8, -11)\).
Задача 2.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} -6x + y = -41 \\ 6x - 4y = 44 \end{cases} \]Решение:
Используем метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:
\((-6x + y) + (6x - 4y) = -41 + 44\) \(-6x + y + 6x - 4y = 3\) \(-3y = 3\) \(y = \frac{3}{-3}\) \(y = -1\)Теперь подставим значение \(y = -1\) в первое уравнение:
\(-6x + (-1) = -41\) \(-6x - 1 = -41\) \(-6x = -41 + 1\) \(-6x = -40\) \(x = \frac{-40}{-6}\) \(x = \frac{20}{3}\) \(x = 6\frac{2}{3}\)Ответ: \(x = \frac{20}{3}\), \(y = -1\).
Задача 3.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} -4x + 5y = 2 \\ x - 6y = 9 \end{cases} \]Решение:
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(x = 9 + 6y\)Подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение:
\(-4(9 + 6y) + 5y = 2\) \(-36 - 24y + 5y = 2\) \(-36 - 19y = 2\) \(-19y = 2 + 36\) \(-19y = 38\) \(y = \frac{38}{-19}\) \(y = -2\)Теперь найдем \(x\), подставив \(y = -2\) в выражение \(x = 9 + 6y\):
\(x = 9 + 6 \cdot (-2)\) \(x = 9 - 12\) \(x = -3\)Ответ: \(x = -3\), \(y = -2\).
Задача 4.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 6x + 7y = -66 \\ -8x + 9y = -22 \end{cases} \]Решение:
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при \(x\) стали противоположными:
Умножим первое уравнение на 4:
\(4 \cdot (6x + 7y) = 4 \cdot (-66)\) \(24x + 28y = -264 \quad (1')\)Умножим второе уравнение на 3:
\(3 \cdot (-8x + 9y) = 3 \cdot (-22)\) \(-24x + 27y = -66 \quad (2')\)Теперь сложим уравнения (1') и (2'):
\((24x + 28y) + (-24x + 27y) = -264 + (-66)\) \(24x + 28y - 24x + 27y = -330\) \(55y = -330\) \(y = \frac{-330}{55}\) \(y = -6\)Теперь подставим значение \(y = -6\) в первое исходное уравнение:
\(6x + 7 \cdot (-6) = -66\) \(6x - 42 = -66\) \(6x = -66 + 42\) \(6x = -24\) \(x = \frac{-24}{6}\) \(x = -4\)Ответ: \(x = -4\), \(y = -6\).
Задача 5.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 3x + 3y = 33 \\ 5x + 3y = 39 \end{cases} \]Решение:
Вычтем первое уравнение из второго:
\((5x + 3y) - (3x + 3y) = 39 - 33\) \(5x + 3y - 3x - 3y = 6\) \(2x = 6\) \(x = \frac{6}{2}\) \(x = 3\)Теперь подставим значение \(x = 3\) в первое уравнение:
\(3 \cdot 3 + 3y = 33\) \(9 + 3y = 33\) \(3y = 33 - 9\) \(3y = 24\) \(y = \frac{24}{3}\) \(y = 8\)Ответ: \(x = 3\), \(y = 8\).
Задача 6.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} -2x - 8y = 32 \\ -x - 4y = 16 \end{cases} \]Решение:
Заметим, что второе уравнение можно умножить на 2:
\(2 \cdot (-x - 4y) = 2 \cdot 16\) \(-2x - 8y = 32\)Мы получили точно такое же уравнение, как и первое. Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Уравнения линейно зависимы.
Выразим \(x\) из второго уравнения:
\(-x = 16 + 4y\) \(x = -16 - 4y\)Любая пара чисел \((x, y)\), удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.
Ответ: Система имеет бесконечно много решений. \(x = -16 - 4y\), где \(y\) - любое действительное число.
Задача 7.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 4x + 9y = -24 \\ 16x + 36y = -96 \end{cases} \]Решение:
Заметим, что если умножить первое уравнение на 4, то получим:
\(4 \cdot (4x + 9y) = 4 \cdot (-24)\) \(16x + 36y = -96\)Мы получили точно такое же уравнение, как и второе. Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Уравнения линейно зависимы.
Выразим \(x\) из первого уравнения:
\(4x = -24 - 9y\) \(x = \frac{-24 - 9y}{4}\) \(x = -6 - \frac{9}{4}y\)Любая пара чисел \((x, y)\), удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.
Ответ: Система имеет бесконечно много решений. \(x = -6 - \frac{9}{4}y\), где \(y\) - любое действительное число.
Задача 8.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 2x - 4y = -44 \\ -5x + 10y = 117 \end{cases} \]Решение:
Разделим первое уравнение на 2:
\(x - 2y = -22 \quad (1')\)Из уравнения (1') выразим \(x\):
\(x = -22 + 2y\)Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:
\(-5(-22 + 2y) + 10y = 117\) \(110 - 10y + 10y = 117\) \(110 = 117\)Мы получили ложное равенство \(110 = 117\). Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
Задача 9.
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} -x - 9y = -70 \\ -3x - 27y = -212 \end{cases} \]Решение:
Умножим первое уравнение на 3:
\(3 \cdot (-x - 9y) = 3 \cdot (-70)\) \(-3x - 27y = -210 \quad (1')\)Теперь сравним это с вторым уравнением:
\(-3x - 27y = -212 \quad (2)\)Мы получили два уравнения, левые части которых одинаковы, а правые части различны (\(-210 \neq -212\)). Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
Задача 10.
Решите систему уравнений
К сожалению, текст десятой задачи не виден на изображении. Если вы предоставите текст, я с удовольствием ее решу.