Решение квадратных неравенств: -2x² - 5x + 18 ≤ 0 и 3x² - 2x > 0

Решение квадратных неравенств. г) \(-2x^2 - 5x + 18 \leqslant 0\) Для удобства умножим обе части неравенства на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный: \[2x^2 + 5x - 18 \geqslant 0\] Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 5x - 18 = 0\): \[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169\] \[\sqrt{D} = 13\] \[x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4,5\] Так как коэффициент при \(x^2\) положителен (\(2 > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство \(\geqslant 0\) выполняется на промежутках: Ответ: \(x \in (-\infty; -4,5] \cup [2; +\infty)\) д) \(3x^2 - 2x > 0\) Решим неполное квадратное уравнение \(3x^2 - 2x = 0\): Вынесем \(x\) за скобки: \[x(3x - 2) = 0\] \[x_1 = 0 \text{ или } 3x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}\] Ветви параболы направлены вверх. Выбираем промежутки, где функция больше нуля: Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)\) е) \(8 - x^2 < 0\) Перенесем \(8\) в правую часть или умножим на \(-1\): \[x^2 - 8 > 0\] \[(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) > 0\] \[(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) > 0\] Корни уравнения: \(x_1 = 2\sqrt{2}\) и \(x_2 = -2\sqrt{2}\). Ветви параболы функции \(f(x) = x^2 - 8\) направлены вверх. Неравенство строгое, точки не включаются. Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\)