Решение уравнения (2x+3)/(x+2) = (3x+2)/x

Решение уравнения для тетради: 3) Решим уравнение: \[ \frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{3x + 2}{x} \] Определим ОДЗ (знаменатели не равны нулю): \[ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] \[ x \neq 0 \] Воспользуемся основным свойством пропорции (перемножим "крест-накрест"): \[ x(2x + 3) = (x + 2)(3x + 2) \] Раскроем скобки: \[ 2x^2 + 3x = 3x^2 + 2x + 6x + 4 \] \[ 2x^2 + 3x = 3x^2 + 8x + 4 \] Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы перед \( x^2 \) был положительный коэффициент: \[ 3x^2 - 2x^2 + 8x - 3x + 4 = 0 \] \[ x^2 + 5x + 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] \[ \sqrt{D} = 3 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \] Проверим корни по ОДЗ: оба числа (\(-1\) и \(-4\)) не равны \(0\) и \(-2\), значит они являются решениями. Ответ: \( x_1 = -1, x_2 = -4 \).