Решение самостоятельной работы по геометрии: Варианты 1 и 2

Представляю решение самостоятельной работы по геометрии для 1 и 2 вариантов. Вариант 1 Задание 1. Установите соответствие. А) \( S_{ABC} \) соответствует формуле 2) \( \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin \gamma \). Б) \( a^2 \) соответствует формуле 3) \( b^2 + c^2 - 2cb \cdot \cos \alpha \). В) \( \frac{a}{\sin \alpha} \) соответствует формуле 1) \( \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \). Ответ: А-2, Б-3, В-1. Задание 2. Дано: \( R = 5 \) см, \( \alpha = 135^\circ \). Найти сторону \( a \). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \] \[ a = 2R \cdot \sin 135^\circ \] Так как \( \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то: \[ a = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \] Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см. Задание 3. Дано: \( a = 4, b = 13, c = 15 \). Найти \( R \). Решение: 1) Найдем полупериметр: \( p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16 \). 2) По формуле Герона найдем площадь: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \] 3) Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8} = 8,125 \text{ см} \] Ответ: 8,125 см. Задание 4. Дано: \( d_1 = \sqrt{3}, d_2 = 1, a = \frac{\sqrt{7}}{2} \). Найти острый угол \( \varphi \) между диагоналями. Решение: Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и большей стороной. Его стороны: \( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \). По теореме косинусов для угла \( \beta \) (тупой угол между диагоналями, лежащий против большей стороны): \[ (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \beta \] \[ \frac{7}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta \] \[ \frac{7}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta = 1 - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4} \] \[ \cos \beta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Следовательно, \( \beta = 150^\circ \). Острый угол \( \varphi = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). Ответ: \( 30^\circ \). Задание 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB=BC \), \( AC=6 \), \( \cos B = \frac{1}{3} \). Найти \( S \). Решение: Пусть \( AB = BC = x \). По теореме косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cdot \cos B \] \[ 6^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow 36 = 2x^2 - \frac{2}{3}x^2 = \frac{4}{3}x^2 \] \[ x^2 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \Rightarrow x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Найдем \( \sin B \): \( \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \). \[ S = \frac{1}{2} x^2 \sin B = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 9\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Ответ: \( 9\sqrt{2} \) см\(^2\). Вариант 2 Задание 1. Заполните пропуски. А) \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \) (пропущено 3). Б) \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \) (пропущено 4). В) \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \) (пропущено 2). Г) \( S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) (пропущено 1). Ответ: А-3, Б-4, В-2, Г-1. Задание 2. Дано: \( a = 2 \), \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \). Найти \( R \). Решение: 1) Найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \] 2) По теореме синусов: \[ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{1/4} = 4 \text{ см} \] Ответ: 4 см. Задание 3. Дано: \( a = 20, b = 13, c = 11 \). Найти \( R \). Решение: 1) \( p = \frac{20 + 13 + 11}{2} = 22 \). 2) \( S = \sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{11 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = 11 \cdot 2 \cdot 3 = 66 \). 3) \( R = \frac{abc}{4S} = \frac{20 \cdot 13 \cdot 11}{4 \cdot 66} = \frac{20 \cdot 13 \cdot 11}{264} = \frac{2860}{264} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6} \text{ см} \). Ответ: \( 10\frac{5}{6} \) см. Задание 4. Дано: \( a = 1, b = \sqrt{3}, d = \sqrt{7} \). Найти меньший угол параллелограмма. Решение: В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон: \( d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \). Пусть \( d_1 = \sqrt{7} \). Тогда \( 7 + d_2^2 = 2(1 + 3) = 8 \Rightarrow d_2^2 = 1 \Rightarrow d_2 = 1 \). Рассмотрим треугольник со сторонами \( a=1, b=\sqrt{3} \) и диагональю \( d_2=1 \). По теореме косинусов для угла \( \alpha \) между сторонами: \[ 1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \alpha \] \[ 1 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cos \alpha \Rightarrow 2\sqrt{3} \cos \alpha = 3 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Следовательно, \( \alpha = 30^\circ \). Ответ: \( 30^\circ \). Задание 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB=BC \), \( AC=8 \), \( \cos B = \frac{1}{3} \). Найти \( S \). Решение: Пусть \( AB = BC = x \). \[ AC^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos B \Rightarrow 64 = 2x^2 - \frac{2}{3}x^2 = \frac{4}{3}x^2 \] \[ x^2 = \frac{64 \cdot 3}{4} = 48 \]. \( \sin B = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) (как в варианте 1). \[ S = \frac{1}{2} x^2 \sin B = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Ответ: \( 16\sqrt{2} \) см\(^2\).