Решение задания №13 ОГЭ: Квадратные неравенства

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку. Задание №13 ОГЭ по математике. Квадратные неравенства. 1. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 9\). Решение: Перенесем 9 в левую часть: \(x^2 - 9 \le 0\). Разложим на множители как разность квадратов: \((x-3)(x+3) \le 0\). Найдем корни уравнения \((x-3)(x+3) = 0\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). На числовой прямой отметим эти точки. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки будут закрашенными. Парабола \(y = x^2 - 9\) ветвями направлена вверх. Значит, значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-3; 3]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 2. Укажите решение неравенства \(x^2 \ge 36\). Решение: Перенесем 36 в левую часть: \(x^2 - 36 \ge 0\). Разложим на множители: \((x-6)(x+6) \ge 0\). Найдем корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -6\). На числовой прямой отметим эти точки. Точки закрашенные. Парабола \(y = x^2 - 36\) ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; -6] \cup [6; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 3. Укажите решение неравенства \(25x^2 \le 49\). Решение: Перенесем 49 в левую часть: \(25x^2 - 49 \le 0\). Разложим на множители: \((5x-7)(5x+7) \le 0\). Найдем корни: \(5x-7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{5} = 1.4\). \(5x+7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{5} = -1.4\). На числовой прямой отметим точки \(-1.4\) и \(1.4\). Точки закрашенные. Парабола \(y = 25x^2 - 49\) ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-1.4; 1.4]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 2) соответствует решению. Ответ: 2. 4. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 36\). Решение: Это та же задача, что и №2, но с другим знаком неравенства. \(x^2 - 36 \le 0\). \((x-6)(x+6) \le 0\). Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -6\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-6; 6]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 5. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 64\). Решение: \(x^2 - 64 \le 0\). \((x-8)(x+8) \le 0\). Корни: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -8\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-8; 8]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 6. Укажите решение неравенства \(25x^2 \ge 4\). Решение: \(25x^2 - 4 \ge 0\). \((5x-2)(5x+2) \ge 0\). Корни: \(5x-2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{5} = 0.4\). \(5x+2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; -0.4] \cup [0.4; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 7. Укажите решение неравенства \(49x^2 \ge 36\). Решение: \(49x^2 - 36 \ge 0\). \((7x-6)(7x+6) \ge 0\). Корни: \(7x-6 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{6}{7}\). \(7x+6 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{6}{7}\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; -\frac{6}{7}] \cup [\frac{6}{7}; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 8. Укажите решение неравенства \(81x^2 \le 16\). Решение: \(81x^2 - 16 \le 0\). \((9x-4)(9x+4) \le 0\). Корни: \(9x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{4}{9}\). \(9x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{4}{9}\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-\frac{4}{9}; \frac{4}{9}]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 9. Укажите решение неравенства \(81x^2 \ge 16\). Решение: \(81x^2 - 16 \ge 0\). \((9x-4)(9x+4) \ge 0\). Корни: \(x_1 = \frac{4}{9}\), \(x_2 = -\frac{4}{9}\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; -\frac{4}{9}] \cup [\frac{4}{9}; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 10. Укажите решение неравенства \(81x^2 \le 64\). Решение: \(81x^2 - 64 \le 0\). \((9x-8)(9x+8) \le 0\). Корни: \(9x-8 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{8}{9}\). \(9x+8 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{8}{9}\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-\frac{8}{9}; \frac{8}{9}]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 11. Укажите решение неравенства \(x^2 - 25 > 0\). Решение: \((x-5)(x+5) > 0\). Корни: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\). На числовой прямой отметим эти точки. Так как неравенство строгое (\(>\)), точки будут выколотыми. Парабола \(y = x^2 - 25\) ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне корней. Решение: \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 12. Укажите решение неравенства \(x^2 + 25 < 0\). Решение: Квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда неотрицателен (\(x^2 \ge 0\)). Тогда \(x^2 + 25\) всегда будет больше или равно \(25\). \(x^2 + 25 \ge 25\). Значит, \(x^2 + 25\) никогда не может быть меньше нуля. Решение: нет решений. Смотрим на предложенные варианты. Вариант 2) соответствует решению. Ответ: 2. 13. Укажите решение неравенства \(x^2 - 36 > 0\). Решение: \((x-6)(x+6) > 0\). Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -6\). Точки выколотые. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне корней. Решение: \((-\infty; -6) \cup (6; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 14. Укажите решение неравенства \(x^2 - 49 > 0\). Решение: \((x-7)(x+7) > 0\). Корни: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -7\). Точки выколотые. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне корней. Решение: \((-\infty; -7) \cup (7; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 15. Укажите решение неравенства \(x^2 - 49 < 0\). Решение: \((x-7)(x+7) < 0\). Корни: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -7\). Точки выколотые. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Решение: \((-7; 7)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 16. Укажите решение неравенства \(x^2 + 64 > 0\). Решение: Квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда неотрицателен (\(x^2 \ge 0\)). Тогда \(x^2 + 64\) всегда будет больше или равно \(64\). \(x^2 + 64 \ge 64\). Значит, \(x^2 + 64\) всегда больше нуля для любых действительных \(x\). Решение: \((-\infty; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 2) соответствует решению. Ответ: 2. 17. Укажите решение неравенства \(x^2 + 49 \ge 0\). Решение: Квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда неотрицателен (\(x^2 \ge 0\)). Тогда \(x^2 + 49\) всегда будет больше или равно \(49\). \(x^2 + 49 \ge 49\). Значит, \(x^2 + 49\) всегда больше или равно нулю для любых действительных \(x\). Решение: \((-\infty; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 4) соответствует решению. Ответ: 4. 18. Укажите решение неравенства \(x^2 + 36 \ge 0\). Решение: Квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда неотрицателен (\(x^2 \ge 0\)). Тогда \(x^2 + 36\) всегда будет больше или равно \(36\). \(x^2 + 36 \ge 36\). Значит, \(x^2 + 36\) всегда больше или равно нулю для любых действительных \(x\). Решение: \((-\infty; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 19. Укажите решение неравенства \(x^2 - 36 \le 0\). Решение: \((x-6)(x+6) \le 0\). Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -6\). Точки закрашенные. Парабола ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю между корнями. Решение: \([-6; 6]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 20. Укажите решение неравенства \(x^2 - 64 > 0\). Решение: \((x-8)(x+8) > 0\). Корни: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -8\). Точки выколотые. Парабола ветвями вверх. Значения функции больше нуля вне корней. Решение: \((-\infty; -8) \cup (8; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 2) соответствует решению. Ответ: 2. 21. Укажите решение неравенства \(x^2 - x \ge 0\). Решение: Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x-1) \ge 0\). Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\). Точки закрашенные. Парабола \(y = x^2 - x\) ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; 0] \cup [1; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 22. Укажите решение неравенства \(4x - x^2 \le 0\). Решение: Вынесем \(x\) за скобки: \(x(4-x) \le 0\). Найдем корни: \(x_1 = 0\), \(4-x = 0 \Rightarrow x_2 = 4\). Это парабола \(y = -x^2 + 4x\), ветви направлены вниз. Значения функции меньше или равны нулю вне корней. Решение: \((-\infty; 0] \cup [4; +\infty)\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 1) соответствует решению. Ответ: 1. 23. Укажите решение неравенства \(3x - x^2 \ge 0\). Решение: Вынесем \(x\) за скобки: \(x(3-x) \ge 0\). Корни: \(x_1 = 0\), \(3-x = 0 \Rightarrow x_2 = 3\). Это парабола \(y = -x^2 + 3x\), ветви направлены вниз. Значения функции больше или равны нулю между корнями. Решение: \([0; 3]\). Смотрим на предложенные варианты. Вариант 3) соответствует решению. Ответ: 3. 24. Укажите решение неравенства \(x^2 - 6x \ge 0\). Решение: Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x-6) \ge 0\). Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\). Парабола \(y = x^2 - 6x\) ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю вне корней. Решение: