538. Решите уравнение:
а) \(8x^2 - 14x + 5 = 0\)
Здесь \(a = 8\), \(b = -14\), \(c = 5\).
Найдем дискриминант:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5\] \[D = 196 - 160\] \[D = 36\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 8}\] \[x_{1,2} = \frac{14 \pm 6}{16}\] \[x_1 = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1.25\] \[x_2 = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0.5\]Ответ: \(x_1 = 1.25\), \(x_2 = 0.5\).
б) \(12t^2 + 16t - 3 = 0\)
Здесь \(a = 12\), \(b = 16\), \(c = -3\).
Найдем дискриминант:
\[D = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3)\] \[D = 256 + 144\] \[D = 400\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[t_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 12}\] \[t_{1,2} = \frac{-16 \pm 20}{24}\] \[t_1 = \frac{-16 + 20}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\] \[t_2 = \frac{-16 - 20}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} = -1.5\]Ответ: \(t_1 = \frac{1}{6}\), \(t_2 = -1.5\).
в) \(4p^2 + 4p + 1 = 0\)
Здесь \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = 1\).
Найдем дискриминант:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1\] \[D = 16 - 16\] \[D = 0\]Так как \(D = 0\), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень:
\[p = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4}\] \[p = \frac{-4}{8}\] \[p = -\frac{1}{2} = -0.5\]Это уравнение также можно заметить как формулу квадрата суммы: \((2p + 1)^2 = 0\), откуда \(2p + 1 = 0\), и \(p = -\frac{1}{2}\).
Ответ: \(p = -0.5\).
г) \(x^2 - 8x - 84 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -84\).
Найдем дискриминант:
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)\] \[D = 64 + 336\] \[D = 400\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1}\] \[x_{1,2} = \frac{8 \pm 20}{2}\] \[x_1 = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14\] \[x_2 = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]Ответ: \(x_1 = 14\), \(x_2 = -6\).
д) \(m^2 + 6m - 19 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -19\).
Найдем дискриминант:
\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19)\] \[D = 36 + 76\] \[D = 112\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[m_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1}\]Упростим \(\sqrt{112}\): \(\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\).
\[m_{1,2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{7}}{2}\] \[m_{1,2} = -3 \pm 2\sqrt{7}\]Ответ: \(m_1 = -3 + 2\sqrt{7}\), \(m_2 = -3 - 2\sqrt{7}\).
е) \(5y^2 + 26y - 24 = 0\)
Здесь \(a = 5\), \(b = 26\), \(c = -24\).
Найдем дискриминант:
\[D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24)\] \[D = 676 + 480\] \[D = 1156\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[y_{1,2} = \frac{-26 \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 5}\]Найдем \(\sqrt{1156}\). Можно заметить, что \(30^2 = 900\), \(40^2 = 1600\). Число заканчивается на 6, значит, корень может заканчиваться на 4 или 6. Проверим \(34^2\): \(34 \cdot 34 = 1156\).
\[y_{1,2} = \frac{-26 \pm 34}{10}\] \[y_1 = \frac{-26 + 34}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8\] \[y_2 = \frac{-26 - 34}{10} = \frac{-60}{10} = -6\]Ответ: \(y_1 = 0.8\), \(y_2 = -6\).
ж) \(z^2 - 34z + 289 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -34\), \(c = 289\).
Найдем дискриминант:
\[D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 289\] \[D = 1156 - 1156\] \[D = 0\]Так как \(D = 0\), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень:
\[z = \frac{-(-34) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}\] \[z = \frac{34}{2}\] \[z = 17\]Это уравнение также можно заметить как формулу квадрата разности: \((z - 17)^2 = 0\), откуда \(z - 17 = 0\), и \(z = 17\).
Ответ: \(z = 17\).
з) \(3x^2 + 32x + 80 = 0\)
Здесь \(a = 3\), \(b = 32\), \(c = 80\).
Найдем дискриминант:
\[D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80\] \[D = 1024 - 960\] \[D = 64\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни:
\[x_{1,2} = \frac{-32 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3}\] \[x_{1,2} = \frac{-32 \pm 8}{6}\] \[x_1 = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4\] \[x_2 = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}\]Ответ: \(x_1 = -4\), \(x_2 = -\frac{20}{3}\).