Решение неравенства x² ≤ 9 (Задание №13 ОГЭ)

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку. Задание №13 ОГЭ по математике. Квадратные неравенства. 1. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 9\). Решение: Перенесем 9 в левую часть: \(x^2 - 9 \le 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((x - 3)(x + 3) \le 0\) Найдем корни уравнения \((x - 3)(x + 3) = 0\): \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -3\): Например, \(x = -4\). \((-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-3 \le x \le 3\): Например, \(x = 0\). \((0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 3\): Например, \(x = 4\). \((4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((x - 3)(x + 3) \le 0\), то есть отрицательный или равный нулю. Это интервал \([-3; 3]\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 3). 2. Укажите решение неравенства \(x^2 \ge 36\). Решение: Перенесем 36 в левую часть: \(x^2 - 36 \ge 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((x - 6)(x + 6) \ge 0\) Найдем корни уравнения \((x - 6)(x + 6) = 0\): \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\) \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -6\): Например, \(x = -7\). \((-7 - 6)(-7 + 6) = (-13)(-1) = 13 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-6 \le x \le 6\): Например, \(x = 0\). \((0 - 6)(0 + 6) = (-6)(6) = -36 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 6\): Например, \(x = 7\). \((7 - 6)(7 + 6) = (1)(13) = 13 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((x - 6)(x + 6) \ge 0\), то есть положительный или равный нулю. Это интервалы \((-\infty; -6]\) и \([6; +\infty)\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 4). 3. Укажите решение неравенства \(25x^2 < 49\). Решение: Перенесем 49 в левую часть: \(25x^2 - 49 < 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((5x - 7)(5x + 7) < 0\) Найдем корни уравнения \((5x - 7)(5x + 7) = 0\): \(5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1.4\) \(5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{5} = -1.4\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (\(<\)), точки будут выколотыми. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -1.4\): Например, \(x = -2\). \((5(-2) - 7)(5(-2) + 7) = (-10 - 7)(-10 + 7) = (-17)(-3) = 51 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-1.4 < x < 1.4\): Например, \(x = 0\). \((5(0) - 7)(5(0) + 7) = (-7)(7) = -49 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 1.4\): Например, \(x = 2\). \((5(2) - 7)(5(2) + 7) = (10 - 7)(10 + 7) = (3)(17) = 51 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((5x - 7)(5x + 7) < 0\), то есть отрицательный. Это интервал \((-1.4; 1.4)\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 2). 4. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 64\). Решение: Перенесем 64 в левую часть: \(x^2 - 64 \le 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((x - 8)(x + 8) \le 0\) Найдем корни уравнения \((x - 8)(x + 8) = 0\): \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\) \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -8\): Например, \(x = -9\). \((-9 - 8)(-9 + 8) = (-17)(-1) = 17 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-8 \le x \le 8\): Например, \(x = 0\). \((0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 8\): Например, \(x = 9\). \((9 - 8)(9 + 8) = (1)(17) = 17 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((x - 8)(x + 8) \le 0\), то есть отрицательный или равный нулю. Это интервал \([-8; 8]\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 3). 5. Укажите решение неравенства \(25x^2 \ge 4\). Решение: Перенесем 4 в левую часть: \(25x^2 - 4 \ge 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((5x - 2)(5x + 2) \ge 0\) Найдем корни уравнения \((5x - 2)(5x + 2) = 0\): \(5x - 2 = 0 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4\) \(5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} = -0.4\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -0.4\): Например, \(x = -1\). \((5(-1) - 2)(5(-1) + 2) = (-5 - 2)(-5 + 2) = (-7)(-3) = 21 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-0.4 \le x \le 0.4\): Например, \(x = 0\). \((5(0) - 2)(5(0) + 2) = (-2)(2) = -4 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 0.4\): Например, \(x = 1\). \((5(1) - 2)(5(1) + 2) = (3)(7) = 21 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((5x - 2)(5x + 2) \ge 0\), то есть положительный или равный нулю. Это интервалы \((-\infty; -0.4]\) и \([0.4; +\infty)\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 4). 6. Укажите решение неравенства \(49x^2 \ge 36\). Решение: Перенесем 36 в левую часть: \(49x^2 - 36 \ge 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((7x - 6)(7x + 6) \ge 0\) Найдем корни уравнения \((7x - 6)(7x + 6) = 0\): \(7x - 6 = 0 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{7}\) \(7x + 6 = 0 \Rightarrow 7x = -6 \Rightarrow x = -\frac{6}{7}\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -\frac{6}{7}\): Например, \(x = -1\). \((7(-1) - 6)(7(-1) + 6) = (-7 - 6)(-7 + 6) = (-13)(-1) = 13 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-\frac{6}{7} \le x \le \frac{6}{7}\): Например, \(x = 0\). \((7(0) - 6)(7(0) + 6) = (-6)(6) = -36 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > \frac{6}{7}\): Например, \(x = 1\). \((7(1) - 6)(7(1) + 6) = (1)(13) = 13 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((7x - 6)(7x + 6) \ge 0\), то есть положительный или равный нулю. Это интервалы \((-\infty; -\frac{6}{7}]\) и \([\frac{6}{7}; +\infty)\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 4). 7. Укажите решение неравенства \(x^2 \le 36\). Решение: Перенесем 36 в левую часть: \(x^2 - 36 \le 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((x - 6)(x + 6) \le 0\) Найдем корни уравнения \((x - 6)(x + 6) = 0\): \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\) \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -6\): Например, \(x = -7\). \((-7 - 6)(-7 + 6) = (-13)(-1) = 13 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-6 \le x \le 6\): Например, \(x = 0\). \((0 - 6)(0 + 6) = (-6)(6) = -36 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > 6\): Например, \(x = 7\). \((7 - 6)(7 + 6) = (1)(13) = 13 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((x - 6)(x + 6) \le 0\), то есть отрицательный или равный нулю. Это интервал \([-6; 6]\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 3). 8. Укажите решение неравенства \(81x^2 \le 16\). Решение: Перенесем 16 в левую часть: \(81x^2 - 16 \le 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((9x - 4)(9x + 4) \le 0\) Найдем корни уравнения \((9x - 4)(9x + 4) = 0\): \(9x - 4 = 0 \Rightarrow 9x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9}\) \(9x + 4 = 0 \Rightarrow 9x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{9}\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -\frac{4}{9}\): Например, \(x = -1\). \((9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-9 - 4)(-9 + 4) = (-13)(-5) = 65 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-\frac{4}{9} \le x \le \frac{4}{9}\): Например, \(x = 0\). \((9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) = -16 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > \frac{4}{9}\): Например, \(x = 1\). \((9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) = 65 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((9x - 4)(9x + 4) \le 0\), то есть отрицательный или равный нулю. Это интервал \([-\frac{4}{9}; \frac{4}{9}]\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 4). 9. Укажите решение неравенства \(81x^2 \ge 16\). Решение: Перенесем 16 в левую часть: \(81x^2 - 16 \ge 0\) Разложим на множители как разность квадратов: \((9x - 4)(9x + 4) \ge 0\) Найдем корни уравнения \((9x - 4)(9x + 4) = 0\): \(9x - 4 = 0 \Rightarrow 9x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9}\) \(9x + 4 = 0 \Rightarrow 9x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{9}\) Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\(\ge\)), точки будут закрашенными. Рассмотрим интервалы: 1) \(x < -\frac{4}{9}\): Например, \(x = -1\). \((9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-9 - 4)(-9 + 4) = (-13)(-5) = 65 > 0\). Интервал положительный. 2) \(-\frac{4}{9} \le x \le \frac{4}{9}\): Например, \(x = 0\). \((9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) = -16 < 0\). Интервал отрицательный. 3) \(x > \frac{4}{9}\): Например, \(x = 1\). \((9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) = 65 > 0\). Интервал положительный. Нам нужно найти интервал, где \((9x - 4)(9x + 4) \ge 0\), то есть положительный или равный