Решение номеров 43, 44, 45: Вынесение и внесение множителя под знак корня

Ниже представлено решение упражнений 43, 44 и 45 из учебника. Записи оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. № 43. Вынесите множитель из-под знака корня: а) \(\sqrt[4]{1250} = \sqrt[4]{625 \cdot 2} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2} = 5\sqrt[4]{2}\) б) \(\sqrt[5]{5120} = \sqrt[5]{1024 \cdot 5} = \sqrt[5]{4^5 \cdot 5} = 4\sqrt[5]{5}\) в) \(\sqrt[3]{-12005} = -\sqrt[3]{12005} = -\sqrt[3]{343 \cdot 35} = -\sqrt[3]{7^3 \cdot 35} = -7\sqrt[3]{35}\) г) \(\sqrt[3]{\frac{250}{243}} = \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 2}{27 \cdot 9}} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{\frac{2}{9}}\) д) \(\sqrt[6]{\frac{3645}{3584}} = \sqrt[6]{\frac{729 \cdot 5}{64 \cdot 56}} = \frac{3}{2}\sqrt[6]{\frac{5}{56}}\) № 44. Внесите множитель под знак корня: а) \(3\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{243}\) б) \(-5\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(-5)^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{-125 \cdot 4} = \sqrt[3]{-500}\) в) \(-2\sqrt[4]{2}\) — так как корень четной степени, минус остается перед корнем: \(-2\sqrt[4]{2} = -\sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = -\sqrt[4]{16 \cdot 2} = -\sqrt[4]{32}\) г) \(12\sqrt[5]{\frac{3}{512}} = \sqrt[5]{\frac{12^5 \cdot 3}{512}} = \sqrt[5]{\frac{248832 \cdot 3}{512}} = \sqrt[5]{486 \cdot 3} = \sqrt[5]{1458}\) № 45. Внесите множитель под знак корня: а) \(3a^3b\sqrt[3]{2a^5b} = \sqrt[3]{(3a^3b)^3 \cdot 2a^5b} = \sqrt[3]{27a^9b^3 \cdot 2a^5b} = \sqrt[3]{54a^{14}b^4}\) б) \(-2x^2y^7\sqrt[7]{3x^2y^5} = \sqrt[7]{(-2x^2y^7)^7 \cdot 3x^2y^5} = \sqrt[7]{-128x^{14}y^{49} \cdot 3x^2y^5} = \sqrt[7]{-384x^{16}y^{54}}\) в) \(-xy^2z^3\sqrt[3]{\frac{1}{x^5y^3z}} = \sqrt[3]{\frac{(-xy^2z^3)^3}{x^5y^3z}} = \sqrt[3]{\frac{-x^3y^6z^9}{x^5y^3z}} = \sqrt[3]{-\frac{y^3z^8}{x^2}}\) г) \(x^3\sqrt[4]{-x^5}\) — выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, значит \(-x^5 \ge 0\), то есть \(x \le 0\). При внесении отрицательного \(x\) под четный корень знак минус остается снаружи: \(x^3\sqrt[4]{-x^5} = -|x^3|\sqrt[4]{-x^5} = -\sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot (-x^5)} = -\sqrt[4]{x^{12} \cdot (-x^5)} = -\sqrt[4]{-x^{17}}\) д) \(-y^3\sqrt[6]{-y^5}\) — аналогично, \(-y^5 \ge 0 \Rightarrow y \le 0\). Так как \(y \le 0\), то \(-y^3 \ge 0\). Положительный множитель вносим полностью: \(-y^3\sqrt[6]{-y^5} = \sqrt[6]{(-y^3)^6 \cdot (-y^5)} = \sqrt[6]{y^{18} \cdot (-y^5)} = \sqrt[6]{-y^{23}}\) е) \(ab\sqrt[6]{\frac{a^3}{b^8}}\) — так как корень четной степени, \(a^3 \ge 0 \Rightarrow a \ge 0\). Множитель \(b\) может быть любым (кроме 0). Если \(b > 0\): \(ab\sqrt[6]{\frac{a^3}{b^8}} = \sqrt[6]{\frac{a^6b^6a^3}{b^8}} = \sqrt[6]{\frac{a^9}{b^2}}\) Если \(b < 0\), то перед корнем появится минус: \(-\sqrt[6]{\frac{a^9}{b^2}}\).