Хорошо, я решу все задачи из представленных вариантов. Для удобства переписывания в тетрадь, я буду оформлять решения по пунктам.
На изображении представлены 4 варианта контрольной работы №3 "Функции и их графики". Я решу каждый из них.
***
Контрольная работа № 3 «Функции и их графики»
Вариант 1
1. Функция задана формулой \(y = 6x + 19\). Определите:
а) значение функции, если аргумент имеет значение равно 1;
б) значение аргумента, если значение функции равно 0,5;
в) проходит ли график данной функции через точку A (2;7).
2. Определите общие точки с осями координат функции \(y = 2x - 4\) и постройте ее.
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = 47x - 37\) и \(y = -13x + 23\).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = 3x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = -3x - 7\) и проходит через начало координат.
Решение Варианта 1:
1. Функция задана формулой \(y = 6x + 19\).
а) Если аргумент \(x = 1\), то значение функции:
\(y = 6 \cdot 1 + 19 = 6 + 19 = 25\).
Ответ: \(y = 25\).
б) Если значение функции \(y = 0,5\), то значение аргумента:
\(0,5 = 6x + 19\)
\(6x = 0,5 - 19\)
\(6x = -18,5\)
\(x = -18,5 / 6\)
\(x = -185 / 60\)
\(x = -37 / 12\)
Ответ: \(x = -37/12\).
в) Проверим, проходит ли график через точку A (2;7). Подставим \(x = 2\) и \(y = 7\) в формулу функции:
\(7 = 6 \cdot 2 + 19\)
\(7 = 12 + 19\)
\(7 = 31\)
Это неверное равенство, значит, график не проходит через точку A (2;7).
Ответ: Не проходит.
2. Функция \(y = 2x - 4\).
Общие точки с осями координат:
* С осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)):
\(0 = 2x - 4\)
\(2x = 4\)
\(x = 2\)
Точка пересечения с осью \(Ox\): (2; 0).
* С осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)):
\(y = 2 \cdot 0 - 4\)
\(y = -4\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): (0; -4).
Построение графика:
Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже нашли две: (2; 0) и (0; -4).
Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.
(В тетради нужно начертить координатную плоскость, отметить точки (2;0) и (0;-4) и провести через них прямую линию).
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = 47x - 37\) и \(y = -13x + 23\).
Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения \(y\) равны:
\(47x - 37 = -13x + 23\)
\(47x + 13x = 23 + 37\)
\(60x = 60\)
\(x = 1\)
Теперь найдем соответствующее значение \(y\), подставив \(x = 1\) в любое из уравнений:
\(y = 47 \cdot 1 - 37 = 47 - 37 = 10\)
Проверим со вторым уравнением: \(y = -13 \cdot 1 + 23 = -13 + 23 = 10\).
Координаты точки пересечения: (1; 10).
Ответ: (1; 10).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = 3x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
Перепишем второе уравнение в стандартном виде: \(y = 3x + 4\).
Сравним угловые коэффициенты \(k\) и свободные члены \(b\) обеих прямых:
Для первой прямой: \(k_1 = 3\), \(b_1 = -4\).
Для второй прямой: \(k_2 = 3\), \(b_2 = 4\).
Так как угловые коэффициенты равны (\(k_1 = k_2 = 3\)), а свободные члены различны (\(b_1 \neq b_2\)), то прямые параллельны.
Ответ: Прямые параллельны.
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = -3x - 7\) и проходит через начало координат.
Если график искомой функции параллелен прямой \(y = -3x - 7\), то их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент искомой функции \(k = -3\).
Формула линейной функции имеет вид \(y = kx + b\). Подставим \(k = -3\):
\(y = -3x + b\).
График проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0). Подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение:
\(0 = -3 \cdot 0 + b\)
\(0 = b\)
Таким образом, свободный член \(b = 0\).
Формула искомой линейной функции: \(y = -3x\).
Ответ: \(y = -3x\).
***
Контрольная работа № 3 «Функции и их графики»
Вариант 2
1. Функция задана формулой \(y = 4x - 30\). Определите:
а) значение функции, если аргумент имеет значение равно -6;
б) значение аргумента, если значение функции равно -2,5;
в) проходит ли график данной функции через точку B (7;-3).
2. Определите общие точки с осями координат функции \(y = -3x + 3\) и постройте ее.
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = 3x + 15\) и \(y = -21x - 36\).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = -5x + 8\) и проходит через начало координат.
Решение Варианта 2:
1. Функция задана формулой \(y = 4x - 30\).
а) Если аргумент \(x = -6\), то значение функции:
\(y = 4 \cdot (-6) - 30 = -24 - 30 = -54\).
Ответ: \(y = -54\).
б) Если значение функции \(y = -2,5\), то значение аргумента:
\(-2,5 = 4x - 30\)
\(4x = -2,5 + 30\)
\(4x = 27,5\)
\(x = 27,5 / 4\)
\(x = 275 / 40\)
\(x = 55 / 8\)
Ответ: \(x = 55/8\).
в) Проверим, проходит ли график через точку B (7;-3). Подставим \(x = 7\) и \(y = -3\) в формулу функции:
\(-3 = 4 \cdot 7 - 30\)
\(-3 = 28 - 30\)
\(-3 = -2\)
Это неверное равенство, значит, график не проходит через точку B (7;-3).
Ответ: Не проходит.
2. Функция \(y = -3x + 3\).
Общие точки с осями координат:
* С осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)):
\(0 = -3x + 3\)
\(3x = 3\)
\(x = 1\)
Точка пересечения с осью \(Ox\): (1; 0).
* С осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)):
\(y = -3 \cdot 0 + 3\)
\(y = 3\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): (0; 3).
Построение графика:
Отметим точки (1; 0) и (0; 3) на координатной плоскости и проведем через них прямую.
(В тетради нужно начертить координатную плоскость, отметить точки (1;0) и (0;3) и провести через них прямую линию).
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = 3x + 15\) и \(y = -21x - 36\).
Приравняем правые части уравнений:
\(3x + 15 = -21x - 36\)
\(3x + 21x = -36 - 15\)
\(24x = -51\)
\(x = -51 / 24\)
\(x = -17 / 8\)
Теперь найдем соответствующее значение \(y\):
\(y = 3 \cdot (-17/8) + 15 = -51/8 + 120/8 = 69/8\)
Координаты точки пересечения: (-17/8; 69/8).
Ответ: (-17/8; 69/8).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
Сравним угловые коэффициенты \(k\) обеих прямых:
Для первой прямой: \(k_1 = 1\).
Для второй прямой: \(k_2 = 3\).
Так как угловые коэффициенты различны (\(k_1 \neq k_2\)), то прямые пересекаются.
Ответ: Прямые пересекаются.
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = -5x + 8\) и проходит через начало координат.
Если график искомой функции параллелен прямой \(y = -5x + 8\), то их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент искомой функции \(k = -5\).
Формула линейной функции имеет вид \(y = kx + b\). Подставим \(k = -5\):
\(y = -5x + b\).
График проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0). Подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение:
\(0 = -5 \cdot 0 + b\)
\(0 = b\)
Таким образом, свободный член \(b = 0\).
Формула искомой линейной функции: \(y = -5x\).
Ответ: \(y = -5x\).
***
Контрольная работа № 3 «Функции и их графики»
Вариант 3
1. Функция задана формулой \(y = 5x + 18\). Определите:
а) значение функции, если аргумент имеет значение равно 3;
б) значение аргумента, если значение функции равно 0,4;
в) проходит ли график данной функции через точку A (6;-12).
2. Определите общие точки с осями координат функции \(y = 2x + 4\) и постройте ее.
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = -14x + 32\) и \(y = 26x - 8\).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = 5x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = 2x + 9\) и проходит через начало координат.
Решение Варианта 3:
1. Функция задана формулой \(y = 5x + 18\).
а) Если аргумент \(x = 3\), то значение функции:
\(y = 5 \cdot 3 + 18 = 15 + 18 = 33\).
Ответ: \(y = 33\).
б) Если значение функции \(y = 0,4\), то значение аргумента:
\(0,4 = 5x + 18\)
\(5x = 0,4 - 18\)
\(5x = -17,6\)
\(x = -17,6 / 5\)
\(x = -176 / 50\)
\(x = -88 / 25\)
Ответ: \(x = -88/25\).
в) Проверим, проходит ли график через точку A (6;-12). Подставим \(x = 6\) и \(y = -12\) в формулу функции:
\(-12 = 5 \cdot 6 + 18\)
\(-12 = 30 + 18\)
\(-12 = 48\)
Это неверное равенство, значит, график не проходит через точку A (6;-12).
Ответ: Не проходит.
2. Функция \(y = 2x + 4\).
Общие точки с осями координат:
* С осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)):
\(0 = 2x + 4\)
\(2x = -4\)
\(x = -2\)
Точка пересечения с осью \(Ox\): (-2; 0).
* С осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)):
\(y = 2 \cdot 0 + 4\)
\(y = 4\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): (0; 4).
Построение графика:
Отметим точки (-2; 0) и (0; 4) на координатной плоскости и проведем через них прямую.
(В тетради нужно начертить координатную плоскость, отметить точки (-2;0) и (0;4) и провести через них прямую линию).
3. Найдите координаты точек пересечения графиков:
\(y = -14x + 32\) и \(y = 26x - 8\).
Приравняем правые части уравнений:
\(-14x + 32 = 26x - 8\)
\(32 + 8 = 26x + 14x\)
\(40 = 40x\)
\(x = 1\)
Теперь найдем соответствующее значение \(y\):
\(y = -14 \cdot 1 + 32 = -14 + 32 = 18\)
Координаты точки пересечения: (1; 18).
Ответ: (1; 18).
4. Определите взаимное расположение прямых \(y = 5x - 4\) и \(y = 4 + 3x\).
Сравним угловые коэффициенты \(k\) обеих прямых:
Для первой прямой: \(k_1 = 5\).
Для второй прямой: \(k_2 = 3\).
Так как угловые коэффициенты различны (\(k_1 \neq k_2\)), то прямые пересекаются.
Ответ: Прямые пересекаются.
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = 2x + 9\) и проходит через начало координат.
Если график искомой функции параллелен прямой \(y = 2x + 9\), то их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент искомой функции \(k = 2\).
Формула линейной функции имеет вид \(y = kx + b\). Подставим \(k = 2\):
\(y = 2x + b\).
График проходит через начало координат, то есть через точку (0; 0). Подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение:
\(0 = 2 \cdot 0 + b\)
\(0 = b\)
Таким образом, свободный член \(b = 0\).
Формула искомой линейной
