Решение Задачи №3: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Ниже представлено решение задач, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача 3 Дано: \(m = 10\) кг (для варианта 1) \(t = 127^{\circ}\text{C}\) \(h = 300\) см \(= 3\) м \(g = 10\) м/с\(^2\) \(P_{0} \approx 0\) (давление снаружи мало) Найти: \(\nu\) — ? Решение: 1. Переведем температуру в Кельвины: \[T = t + 273 = 127 + 273 = 400 \text{ К}\] 2. Газ под поршнем находится в равновесии. Давление газа \(P\) уравновешивает силу тяжести поршня: \[P \cdot S = m \cdot g \implies P = \frac{mg}{S}\] где \(S\) — площадь сечения цилиндра. 3. Объем газа под поршнем: \[V = S \cdot h\] 4. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \[P \cdot V = \nu \cdot R \cdot T\] Подставим выражения для \(P\) и \(V\): \[\frac{mg}{S} \cdot (S \cdot h) = \nu \cdot R \cdot T\] \[m \cdot g \cdot h = \nu \cdot R \cdot T\] 5. Выразим количество вещества \(\nu\): \[\nu = \frac{mgh}{RT}\] Подставим значения (\(R = 8,31\) Дж/(моль·К)): \[\nu = \frac{10 \cdot 10 \cdot 3}{8,31 \cdot 400} = \frac{300}{3324} \approx 0,09 \text{ моль}\] Ответ: \(\nu \approx 0,09\) моль. График зависимости \(h(t)\): Так как \(mgh = \nu R(t + 273)\), то \(h = \frac{\nu R}{mg}(t + 273)\). Это линейная зависимость. Графиком является прямая линия, выходящая из точки \(-273^{\circ}\text{C}\) на оси температур. --- Задача 1 (Вариант 1) Дано: \(p = 0,1\) МПа \(= 10^5\) Па \(V' = 40\) л \(= 40 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) \(\Delta p = 30\) кПа \(= 3 \cdot 10^4\) Па \(T = \text{const}\) Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса: \[p \cdot V = p_2 \cdot V_2\] где \(p_2\) — конечное давление, \(V_2\) — конечный объем. 2. Конечное давление: \[p_2 = p - \Delta p\] Конечный объем (газ занял оба баллона): \[V_2 = V + V'\] 3. Подставим в формулу закона: \[p \cdot V = (p - \Delta p) \cdot (V + V')\] \[p \cdot V = p \cdot V + p \cdot V' - \Delta p \cdot V - \Delta p \cdot V'\] \[0 = p \cdot V' - \Delta p \cdot V - \Delta p \cdot V'\] 4. Выразим \(V\): \[\Delta p \cdot V = p \cdot V' - \Delta p \cdot V'\] \[V = \frac{V' \cdot (p - \Delta p)}{\Delta p}\] 5. Подставим значения: \[V = \frac{40 \cdot (100 - 30)}{30} = \frac{40 \cdot 70}{30} = \frac{280}{3} \approx 93,3 \text{ л}\] Ответ: \(V \approx 93,3\) л.