Хорошо, давайте решим эти задачи.
***
Задача 9
Груз массой \(m = 200\) г, подвешенный к пружине, растягивает её на \(\Delta x_1 = 30\) мм. Определите удлинение пружины \(\Delta x_2\) при её движении вертикально вверх с ускорением, модуль которого \(a = 2,0\) м/с\(^2\).
Дано:
Масса груза: \(m = 200\) г \( = 0,2\) кг
Начальное удлинение пружины: \(\Delta x_1 = 30\) мм \( = 0,03\) м
Ускорение при движении вверх: \(a = 2,0\) м/с\(^2\)
Ускорение свободного падения: \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (если не указано иное, обычно принимают \(9,8\) или \(10\). Возьмем \(9,8\)).
Найти:
Удлинение пружины при движении вверх: \(\Delta x_2\)
Решение:
1. Определим жесткость пружины \(k\).
Когда груз висит неподвижно, сила тяжести уравновешивается силой упругости пружины.
Сила тяжести: \(F_т = mg\)
Сила упругости: \(F_{упр1} = k \Delta x_1\)
Из условия равновесия:
\[mg = k \Delta x_1\]
Отсюда жесткость пружины:
\[k = \frac{mg}{\Delta x_1}\]
Подставим значения:
\[k = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,03 \text{ м}} = \frac{1,96 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} \approx 65,33 \text{ Н/м}\]
2. Определим удлинение пружины \(\Delta x_2\) при движении вверх с ускорением.
При движении груза вертикально вверх с ускорением \(a\), на груз действуют две силы: сила тяжести \(mg\), направленная вниз, и сила упругости пружины \(F_{упр2} = k \Delta x_2\), направленная вверх.
Согласно второму закону Ньютона:
\[F_{упр2} - mg = ma\]
\[k \Delta x_2 - mg = ma\]
Выразим \(\Delta x_2\):
\[k \Delta x_2 = ma + mg\]
\[\Delta x_2 = \frac{m(a + g)}{k}\]
Подставим значение \(k\), которое мы нашли:
\[\Delta x_2 = \frac{m(a + g)}{\frac{mg}{\Delta x_1}}\]
\[\Delta x_2 = \frac{m(a + g) \Delta x_1}{mg}\]
\[\Delta x_2 = \frac{(a + g) \Delta x_1}{g}\]
Теперь подставим числовые значения:
\[\Delta x_2 = \frac{(2,0 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2) \cdot 0,03 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[\Delta x_2 = \frac{11,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,03 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[\Delta x_2 = \frac{0,354 \text{ м}}{9,8} \approx 0,03612 \text{ м}\]
Переведем в миллиметры:
\[\Delta x_2 \approx 0,03612 \text{ м} \cdot 1000 \text{ мм/м} \approx 36,12 \text{ мм}\]
Округлим до десятых: \(\Delta x_2 \approx 36,1\) мм.
Ответ:
Удлинение пружины \(\Delta x_2 \approx 36,1\) мм.
***
Задача 10
Шарик массой \(m = 0,50\) кг, подвешенный на упругом легком шнуре с коэффициентом жесткости \(k = 100\) Н/м, равномерно движется по окружности так, что шнур описывает коническую поверхность, образуя угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью. Определите угловую скорость вращения шарика, если длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см.
Дано:
Масса шарика: \(m = 0,50\) кг
Коэффициент жесткости шнура: \(k = 100\) Н/м
Угол с вертикалью: \(\alpha = 60^\circ\)
Длина шнура в недеформированном состоянии: \(l_0 = 70\) см \( = 0,7\) м
Ускорение свободного падения: \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\)
Найти:
Угловая скорость вращения шарика: \(\omega\)
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на шарик.
На шарик действуют две силы:
* Сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз.
* Сила упругости шнура \(F_{упр}\), направленная вдоль шнура.
2. Разложим силу упругости на составляющие.
Сила упругости \(F_{упр}\) имеет две составляющие:
* Вертикальная составляющая: \(F_{упр,y} = F_{упр} \cos \alpha\), направленная вверх.
* Горизонтальная составляющая: \(F_{упр,x} = F_{упр} \sin \alpha\), направленная к центру окружности.
3. Запишем уравнения движения.
Поскольку шарик движется равномерно по окружности, вертикальные силы уравновешены, а горизонтальная составляющая силы упругости создает центростремительное ускорение.
* По вертикали (равновесие):
\[F_{упр} \cos \alpha = mg\]
\[F_{упр} = \frac{mg}{\cos \alpha}\]
* По горизонтали (второй закон Ньютона):
\[F_{упр} \sin \alpha = F_{цс}\]
где \(F_{цс}\) - центростремительная сила.
\[F_{цс} = m a_{цс} = m \omega^2 R\]
Здесь \(R\) - радиус окружности, по которой движется шарик.
4. Найдем удлинение шнура \(\Delta l\).
Сила упругости также определяется законом Гука: \(F_{упр} = k \Delta l\).
Приравняем выражения для \(F_{упр}\):
\[k \Delta l = \frac{mg}{\cos \alpha}\]
\[\Delta l = \frac{mg}{k \cos \alpha}\]
Подставим значения:
\[\Delta l = \frac{0,50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м} \cdot \cos 60^\circ}\]
\[\Delta l = \frac{4,9 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м} \cdot 0,5} = \frac{4,9 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0,098 \text{ м}\]
5. Определим длину шнура в деформированном состоянии \(l\).
\[l = l_0 + \Delta l\]
\[l = 0,7 \text{ м} + 0,098 \text{ м} = 0,798 \text{ м}\]
6. Определим радиус окружности \(R\).
Из геометрии (прямоугольный треугольник, образованный шнуром, вертикалью и радиусом):
\[R = l \sin \alpha\]
\[R = 0,798 \text{ м} \cdot \sin 60^\circ\]
\[R = 0,798 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,798 \text{ м} \cdot 0,866 \approx 0,691 \text{ м}\]
7. Найдем угловую скорость \(\omega\).
Теперь вернемся к горизонтальному уравнению движения:
\[F_{упр} \sin \alpha = m \omega^2 R\]
Подставим \(F_{упр} = \frac{mg}{\cos \alpha}\):
\[\frac{mg}{\cos \alpha} \sin \alpha = m \omega^2 R\]
\[mg \tan \alpha = m \omega^2 R\]
Сократим \(m\):
\[g \tan \alpha = \omega^2 R\]
Выразим \(\omega^2\):
\[\omega^2 = \frac{g \tan \alpha}{R}\]
\[\omega = \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{R}}\]
Подставим значения:
\[\omega = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan 60^\circ}{0,691 \text{ м}}}\]
\[\omega = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{3}}{0,691 \text{ м}}}\]
\[\omega = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 1,732}{0,691}} = \sqrt{\frac{16,9736}{0,691}} = \sqrt{24,563}\]
\[\omega \approx 4,956 \text{ рад/с}\]
Округлим до сотых: \(\omega \approx 4,96\) рад/с.
Ответ:
Угловая скорость вращения шарика \(\omega \approx 4,96\) рад/с.
