Решение Варианта 1 Самостоятельной Работы

Ниже представлено решение заданий для Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Самостоятельная работа. Вариант 1. Задание 1. Установите соответствие. А) \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin \gamma \) (соответствует пункту 2) Б) \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha \) (соответствует пункту 3) В) \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \) (соответствует пункту 1) Ответ: А — 2, Б — 3, В — 1. Задание 2. Дано: \( R = 5 \) см, \( \alpha = 135^\circ \). Найти: \( a \). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \] Отсюда: \[ a = 2R \cdot \sin \alpha \] \[ a = 2 \cdot 5 \cdot \sin 135^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \] Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см. Задание 3. Дано: \( a = 4, b = 13, c = 15 \). Найти: \( R \). Решение: 1) Найдем полупериметр: \[ p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] 2) Найдем площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)} \] \[ S = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \] 3) Найдем радиус описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8} = 8,125 \] Ответ: 8,125. Задание 4. Дано: \( a = \frac{\sqrt{7}}{2} \), \( d_1 = \sqrt{3} \), \( d_2 = 1 \). Найти: острый угол \( \varphi \) между диагоналями. Решение: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a \) и половинами диагоналей \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \). Пусть \( \varphi \) — угол между ними, лежащий против стороны \( a \). По теореме косинусов: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos \varphi \] \[ \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \varphi \] \[ \frac{7}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \varphi \] \[ \frac{7}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \varphi \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \varphi = 1 - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4} \] \[ \cos \varphi = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Так как косинус отрицательный, угол тупой (\( 150^\circ \)). Смежный с ним острый угол будет: \[ 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] Ответ: \( 30^\circ \). Задание 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( AC = 6 \) см, \( \cos B = \frac{1}{3} \). Найти: \( S_{ABC} \). Решение: 1) По теореме косинусов для стороны \( AC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \] Пусть \( AB = BC = x \). \[ 6^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{3} \] \[ 36 = 2x^2 - \frac{2}{3}x^2 = \frac{4}{3}x^2 \] \[ x^2 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \] 2) Найдем \( \sin B \): \[ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 3) Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 9\sqrt{2} \text{ см}^2 \] Ответ: \( 9\sqrt{2} \) \( \text{см}^2 \).